Прямоугольная трапеция
69 / 174
Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел прямоугольная трапеция). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√" 

См. такжетрапеция и ее свойства.

Прямоугольная трапеция

Прямоугольная трапеция - это трапеция, у которой хотя бы один из углов прямой (классическое определение)

Примечание. На самом деле, у прямоугольной трапеции, как минимум, два прямых угла (см. ниже - свойства)

Другие определения:

  • Прямоугольной называется трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям
  • Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Прямоугольная трапеция с проведенной к ней высотой и отмеченным острым углом

Формулы для прямоугольной трапеции

Формулы нахождения высоты и боковой грани прямоугольной трапеции через основания и острый уголОбозначения формул даны на чертеже выше.
Соответственно:
a и b - основания трапеции
с - боковая сторона прямоугольной трапеции, перпендикулярная основаниям
d - боковая сторона трапеции, не являющаяся перпендикулярной основаниям
α - острый угол при большем основании трапеции
m - средняя линия трапеции

Интерпретация формул:
Боковая сторона прямоугольной трапеции, перпендикулярная основаниям, равна высоте трапеции (Формула 1)

Боковая сторона прямоугольной трапеции, перпендикулярная основаниям, равна произведению синуса острого угла при большем основании на длину второй боковой стороны. (Треугольник CKD - прямоугольный, соответственно h/d=sinα согласно свойствам синуса, а c=h) (Формула 2)

Боковая сторона, перпендикулярная основаниям, равна произведению разности оснований на тангенс острого угла при большем основании. (Треугольник CKD - прямоугольный. Поскольку трапеция - прямоугольная, то длина KD - это и есть разность оснований, а h/KD=tgα по определению тангенса, а c=h, откуда с/KD=tgα) (Формула 3)

Боковая сторона, которая не перпендикулярна основаниям, равна частному разности оснований к косинусу острого угла при большем основании или частному высоты трапеции и синуса острого угла при большем основании. (разность оснований равна KD. В прямоугольном треугольнике CKD по определению косинуса cos α = KD / d, откуда и проистекает искомая формула) (Формула 4)

Боковая сторона прямоугольной трапеции, которая не перпендикулярна основаниям, равна корню квадратному из разности квадрата второй боковой стороны и квадрата разности оснований. (Разность оснований равна KD, КС равна второй боковой стороне. Треугольник CKD, далее - следствие из теоремы Пифагора - из квадрата гипотенузы вычитаем квадрат катета и извлекая из полученного выражения квадратный корень, находим искомый катет) (Формула 5)

Боковая сторона прямоугольной трапеции, перпендикулярная основаниям, равна корню квадратному из суммы квадрата второй боковой стороны и квадрата разности оснований. (Разность оснований равна KD, КС равна второй боковой стороне. Треугольник CKD, прямоугольный, далее - следствие из теоремы Пифагора - находим сумму квадратов катетов и извлекаем из полученного выражения квадратный корень) (Формула 6)

Боковая сторона прямоугольной трапеции, перпендикулярная основаниям, равна частному от деления двойной площади трапеции на сумму ее оснований. (Поскольку площадь трапеции равна произведению средней линии трапеции на высоту (S=mh), а h=c, то разделив площадь на среднюю линию прямоугольной трапеции, получим ее высоту, а подставив в формулу значение средней линии (m = ( a + b ) / 2), получим искомую формулу) (Формула 7)

Боковая сторона прямоугольной трапеции, которая не перпендикулярна основаниям, равна частному от деления двойной площади трапеции на произведение суммы ее оснований и синуса острого угла при основании. (Поскольку площадь трапеции равна произведению средней линии трапеции на высоту (S=mh), а h=c, то разделив площадь на среднюю линию прямоугольной трапеции, получим ее высоту, а выразив высоту через вторую боковую сторону и подставив в формулу значение средней линии (m = ( a + b ) / 2), получим искомую формулу) (Формула 8)

Так как прямоугольная трапеция - это частный случай трапеции, то остальные формулы и свойства можно посмотреть в разделе "Трапеция".

Свойства прямоугольной трапеции

  • У прямоугольной трапеции два угла обязательно прямые
  • Оба прямых угла прямоугольной трапеции обязательно принадлежат смежным вершинам
  • Оба прямых угла в прямоугольной трапеции обязательно прилежат к одной и той же боковой стороне
  • Диагонали прямоугольной трапеции образуют с одной из боковых сторон прямоугольный треугольник
  • Длина боковой стороны трапеции, перпендикулярной основаниям равна ее высоте
  • У прямоугольной трапеции основания параллельны, одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, а вторая боковая сторона - наклонная к основаниям
  • У прямоугольной трапеции два угла прямые, а два других – острый и тупой

Задача

В прямоугольной трапеции большая боковая сторона равна сумме оснований, высота равна 12 см. Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям трапеции.

Решение.
Обозначим трапецию как ABCD. Обозначим длины оснований трапеции как  a (большее основание AD) и b (меньшее основание BC). Пусть прямым углом будет
A.

Площадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям трапеции, будет равна
S = ab

Из вершины C верхнего основания трапеции ABCD опустим на нижнее основание высоту CK. Высота трапеции известна по условию задачи. Тогда, по теореме Пифагора
CK2 + KD
2 = CD2

Поскольку большая боковая сторона трапеции по условию равна сумме оснований, то CD = a + b
Поскольку трапеция прямоугольная, то высота, проведенная из верхнего основания трапеции разбивает нижнее основание на два отрезка
AD = AK + KD.  Величина первого отрезка равна меньшему основанию трапеции, так как высота образовала прямоугольник ABCK, то есть BC = AK = b,  следовательно, KD будет равен разности длин оснований прямоугольной трапеции KD = a - b.
то есть
12
2 + (a - b)2 = (a + b)2
откуда
144 + a
2 - 2ab + b= a2 + 2ab + b2
144 = 4ab

Поскольку площадь прямоугольника S = ab (см. выше), то
144 = 4S
S = 144 / 4 = 36

Ответ: 36 см
2 .
0  


 Трапеция (задачи с диагоналями) | Описание курса | Равнобокая (равнобедренная) трапеция 
   

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!



Нажмите, чтобы рекомендовать эту страницу другим:
... Рейтинг@Mail.ru Яндекс.Метрика