Список предметов
Синус, косинус, тангенс угла 45 градусов (sin 45, cos 45, tg 45)
108 / 191
Развернуть структуру обучения Свернуть структуру обучения

Примечание: см. также таблицу значений тригонометрических функций других углов.

Синус, косинус, тангенс угла 45 градусов (sin 45, cos 45, tg 45)

Табличные значения синуса 45, косинуса 45 и тангенса 45 градусов указаны ниже. Далее по тексту следует пояснение метода и правильности вычисления этих значений для произвольного прямоугольного треугольника.

45 градусов - это π/4 радиан. Формулы для значений косинуса, синуса и тангенса пи/4 радиан указаны ниже (хотя они и тождественны). 
То есть, например, tg π/4 = tg 45 градусов

ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПРИ α=45°

Как самостоятельно вычислить значения sin cos tg 45 градусов?

Построим и рассмотрим прямоугольный треугольник АВС у которого угол В = 45°. На основании соотношения его сторон, вычислим значения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике для угла 45 градусов. Поскольку треугольник прямоугольный, то значения функций синуса, косинуса и тангенса будут равны соотношению его соответствующих сторон.

Поскольку значение функций синуса, косинуса и тангенса зависят исключительно от градусной меры угла (или значения, выраженного в радианах), то найденные нами соотношения и будут значениями функции синуса 45, косинуса 45 и тангенса 45 градусов.

Прямоугольный треугольник с углом 45 градусов для определения величины sin cos tg 45 градусов

Согласно свойствам прямоугольного треугольника, угол С - прямой и равен 90 градусам. Угол B мы изначально построили с градусной мерой 45 градусов. Найдем значение угла А. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то

А + В + С = 180° 
Угол C прямой и равен 90 градусам, угол B мы изначально определили как 45 градусов, таким образом:
А = 180° -С - В = 180° - 90° - 45° = 45° 

Поскольку у данного треугольника два угла равны между собой, то треугольник АВС – прямоугольный, и, одновременно, равнобедренный, в котором оба катета равны между собой: AC = BC.

Допустим, что длина сторон равна некому числу АС = ВС = а. Зная длины катетов, вычислим длину гипотенузы.

По теореме Пифагора: АВ2=АС2+ВС2
Заменим длины AC и BC на переменную а, тогда получим: 

АВ= а+ а= 2а2

тогда АВ=а2.

В результате мы выразили длины всех сторон прямоугольного треугольника с углом 45 градусов через переменную а.

Согласно свойств тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике соотношение соответствующих сторон треугольника будет равным значению соответствующих функций. Таким образом для угла α = 45 градусов:

sin α = BC / AB (согласно определению синуса для прямоугольного треугольника - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, BC - катет, AB - гипотенуза)

cos α = AC / AB (согласно определению косинуса - это отношение прилежащего катета к гипотенузе, AC - катет, AB - гипотенуза)

tg α = BC / AC (аналогично, тангенс для угла α будет равен отношению противолежащего катета к прилежащему)

Вместо обозначений сторон подставим значения их длин через переменную а.

Исходя из этого (см. таблицу значений sin 45, cos 45, tg 45) получаем:

Табличные значения sin 45, cos 45, tg 45  (то есть значение синуса 45, косинуса 45 и тангенса 45 градусов можно вычислить как соотношение соответствующих сторон данного треугольника), подставим вычисленные выше значения длин сторон в формулы и получим результат на картинке ниже.

Табличные значения: синус 45, косинус 45 и тангенс 45 градусов

Формула расчета синуса косинуса тангенса 45 градусов исходя из размерности треугольника со стороной a


Таким образом:
  • тангенс 45 градусов равен единице
  • синус 45 градусов равен косинусу 45 градусов и равен корню из двух пополам (то же самое, что и единица, деленная на корень из двух)
Как видно из вычислений, приведенных выше, для вычисления значений соответствующей тригонометрической функции важны не длины сторон треугольника, а их соотношение, которое всегда одно и то же для одинаковых углов, независимо от размеров конкретного треугольника.

Синус, косинус и тангенс угла π/4 радиан

В задачах, предлагаемых для решения в старших классах и на ЗНО/ЕГЭ вместо градусной меры угла часто встречается указание на его величину, измеренную в радианах. Мера угла, выраженная в радианах, базируется на числе пи, которое выражает зависимость длины окружности от ее диаметра.
Для простоты понимания, рекомендую запомнить простой принцип перевода градусов в радианы. Диаметр окружности охватывает дугу, равную 180 градусам. Таким образом, пи радиан будет равно 180 градусам. Откуда легко пересчитать любую градусную меру угла в радианы и обратно.
Учтем, что угол 45 градусов, выраженный в радианах, равен (180 / 45 = 4) π/4 ( пи на четыре). Поэтому найденные нами значения верны для той же самой градусной меры угла, выраженной в радианах:
  • тангенс π/4 ( пи на четыре) равен единице
  • синус π/4 ( пи на четыре) градусов равен косинусу π/4 градусов и равен корню из двух пополам
Для удобства зрительного восприятия эти значения приведены на рисунке ниже.

Значение синуса, косинуса и тангенса пи/4. sin pi/4, cos pi/4, tg pi/4

Примечание. В поисковых запросах часто встречается нечто типа "тангенс р/4 или p/4". Это неграмотно. Используйте запрос, например "тангенс пи/4".

Примечание: см. также таблицу значений тригонометрических функций остальных углов.

0  


 Синус, косинус и тангенс угла 30 градусов (sin cos tg 30) - таблица значений | Описание курса | Синус, косинус, тангенс угла 30 и 60 градусов (sin cos tg 30 и 60) 
   

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!




Нажмите, чтобы рекомендовать эту страницу другим:
Рейтинг@Mail.ru