Синус, косинус, тангенс угла 45 градусов (sin 45, cos 45, tg 45)
97 / 181

Примечание: см. также таблицу значений тригонометрических функций других углов.

Синус, косинус, тангенс угла 45 градусов (sin 45, cos 45, tg 45)

Табличные значения синуса 45, косинуса 45 и тангенса 45 градусов указаны ниже. Далее по тексту следует пояснение метода и правильности вычисления этих значений для произвольного прямоугольного треугольника.

ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПРИ α=45°

Построим и рассмотрим прямоугольный треугольник АВС у которого угол В = 45°. На основании соотношения его сторон, вычислим значения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике для угла 45 градусов. Поскольку треугольник прямоугольный, то значения функций синуса, косинуса и тангенса будут равны соотношению его соответствующих сторон.

Поскольку значение функций синуса, косинуса и тангенса зависят исключительно от градусной меры угла (или значения, выраженного в радианах), то найденные нами соотношения и будут значениями функции синуса 45, косинуса 45 и тангенса 45 градусов.

ЗНАЧЕННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ ПРИ α=45°

Створимо i розглянемо прямокутний трикутник АВС в якого кут В = 45°. На підставі співвідношення його сторін, обчислимо значення тригонометричних функцій в прямокутному трикутнику для кута 45 градусів. Оскільки трикутник прямокутний, то значення функцій синуса, косинуса і тангенса дорівнюватимуть співвідношенню його вiдповiдних сторін.

Оскільки значення функцій синуса, косинуса і тангенса залежать виключно від градусної міри кута (або значення, вираженого в радіанах), то знайдені нами співвідношення і будуть значеннями функції синуса 45, косинуса 45 і тангенса 45 градусів.

Прямоугольный треугольник с углом 45 градусов для определения величины sin cos tg 45 градусов

Согласно свойствам прямоугольного треугольника, угол С - прямой и равен 90 градусам. Угол B мы изначально построили с градусной мерой 45 градусов. Найдем значение угла А. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то

А + В + С = 180° 
Угол C прямой и равен 90 градусам, угол B мы изначально определили как 45 градусов, таким образом:
А = 180° -С - В = 180° - 90° - 45° = 45° 

Поскольку у данного треугольника два угла равны между собой, то треугольник АВС – прямоугольный, и, одновременно, равнобедренный, в котором оба катета равны между собой: AC = BC.

Допустим, что длина сторон равна некому числу АС = ВС = а. Зная длины катетов, вычислим длину гипотенузы.

По теореме Пифагора: АВ2=АС2+ВС2
Заменим длины AC и BC на переменную а, тогда получим: 

АВ= а+ а= 2а2

тогда АВ=а2.

В результате мы выразили длины всех сторон прямоугольного треугольника с углом 45 градусов через переменную а.

Согласно свойств тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике соотношение соответствующих сторон треугольника будет равным значению соответствующих функций. Таким образом для угла α = 45 градусов:

sin α = BC / AB (согласно определению синуса для прямоугольного треугольника - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, BC - катет, AB - гипотенуза)

cos α = AC / AB (согласно определению косинуса - это отношение прилежащего катета к гипотенузе, AC - катет, AB - гипотенуза)

tg α = BC / AC (аналогично, тангенс для угла α будет равен отношению противолежащего катета к прилежащему)

Вместо обозначений сторон подставим значения их длин через переменную а.

Исходя из этого (см. таблицу значений sin 45, cos 45, tg 45) получаем:

Згідно властивостям прямокутного трикутника, кут С - прямій і дорівнює 90 градусам. Кут B ми спочатку побудували з градусною мірою 45 градусів. Знайдемо значення кута А. Так як сума кутів трикутника дорівнює 180 градусам, то

А + В + С = 180°
Кут C прямiй та дорівнює 90 градусам, кут B ми спочатку визначили як 45 градусів, таким чином:
А = 180° -С - В = 180° - 90° - 45° = 45°, 

Оскільки в даного трикутника два кути рівні між собою, то трикутник АВС – прямокутний, і, одночасно, рівнобедрений, в якому обидва катети рівні між собою: AC = BC.

Допустимо, що довжина сторін дорiвнює деякому числу  АС = ВС = а. Знаючи довжини катетів, обчислимо довжину гіпотенузи.

Згідно теореми Піфагора: АВ2=АС2+ВС2
Замінимо довжини AC і BC на змінну а, тоді отримаємо:

АВ= а+ а= 2а2

тоді АВ=а2.

В результаті ми виразили довжини всіх сторін прямокутного трикутника з кутом 45 градусів через змінну а.

Згідно властивостей тригонометричних функцій в прямокутному трикутнику співвідношення відповідних сторін трикутника буде рівним значенню відповідних функцій. Таким чином для кута α = 45 градусів:

sin α = BC / AB (згідно з визначенням синуса для прямокутного трикутника - це відношення катета, що протилежить куту, до гіпотенузи, BC - катет, AB - гіпотенуза)

cos α = AC / AB (згідно з визначенням косинуса - це відношення прилеглого катета до гіпотенузи, AC - катет, AB - гіпотенуза)

tg α = BC / AC (аналогічно, тангенс для кута α дорівнюватиме відношенню катета, що протилежить, до прилеглого)

Замість позначень сторін підставимо значення їх довжин через змінну а.

Виходячи з цього (див. таблицю значень sin 45, cos 45, tg 45) отримуємо:

Табличные значения sin 45, cos 45, tg 45  (то есть значение синуса 45, косинуса 45 и тангенса 45 градусов можно вычислить как соотношение соответствующих сторон данного треугольника), подставим вычисленные выше значения длин сторон в формулы и получим результат на картинке ниже.

Табличные значения: синус 45, косинус 45 и тангенс 45 градусов

Формула расчета синуса косинуса тангенса 45 градусов исходя из размерности треугольника со стороной a


Таким образом:
  • тангенс 45 градусов равен единице
  • синус 45 градусов равен косинусу 45 градусов и равен корню из двух пополам (то же самое, что и единица, деленная на корень из двух)
Как видно из вычислений, приведенных выше, для вычисления значений соответствующей тригонометрической функции важны не длины сторон треугольника, а их соотношение, которое всегда одно и то же для одинаковых углов, независимо от размеров конкретного треугольника.

Синус, косинус и тангенс угла π/4 радиан

В задачах, предлагаемых для решения в старших классах и на ЗНО/ЕГЭ вместо градусной меры угла часто встречается указание на его величину, измеренную в радианах. Мера угла, выраженная в радианах, базируется на числе пи, которое выражает зависимость длины окружности от ее диаметра.

Для простоты понимания, рекомендую запомнить простой принцип перевода градусов в радианы. Диаметр окружности охватывает дугу, равную 180 градусам. Таким образом, пи радиан будет равно 180 градусам. Откуда легко пересчитать любую градусную меру угла в радианы и обратно.

Учтем, что угол 45 градусов, выраженный в радианах, равен (180 / 45 = 4) π/4 ( пи на четыре). Поэтому найденные нами значения верны для той же самой градусной меры угла, выраженной в радианах:
  • тангенс π/4 ( пи на четыре) равен единице
  • синус π/4 ( пи на четыре) градусов равен косинусу π/4 градусов и равен корню из двух пополам
Для удобства зрительного восприятия эти значения приведены на рисунке ниже.
Таким чином:
  • тангенс 45 градусів дорівнює одиниці 
  • синус 45 градусів дорівнює косинусу 45 градусів і дорівнює кореню з двох навпіл (те ж саме, що і одиниця, що ділиться на корінь з двох)
Як видно з обчислень, приведених вище, для обчислення значень відповідної тригонометричної функції важливі не довжини сторін трикутника, а їх співвідношення, яке завжди одне і те ж для однакових кутів, незалежно від розмірів конкретного трикутника.

Синус, косинус і тангенс кута π/4 радіан

У завданнях, пропонованих для вирішення в старших класах і на ЗНО/ЕГЭ замість градусної міри кута часто зустрічається вказівка на його величину, виміряну в радіанах. Міра кута, виражена в радіанах, базується на числі пі, яке виражає залежність довжини окружності до її діаметра.

Для простоти розуміння, рекомендую запам'ятати простий принцип перекладу градусів в радіани. Діаметр окружності охоплює дугу, яка дорівнює 180 градусам. Таким чином, пі радіан буде дорівнює 180 градусам. Звідки легко перерахувати будь-яку градусну міру кута в радіани і назад.

Врахуємо, що кут 45 градусів, виражений в радіанах, дорiвнює (180 / 45 = 4) π/4 ( пі на чотири). Тому знайдені нами значення вірні для тієї ж самої градусної міри кута, вираженої в радіанах: 
  • тангенс π/4 ( пі на чотири) дорівнює одиниці 
  • синус π/4 ( пі на чотири) градусів дорівнює косинусу π/4 градусів і дорівнює корню з двох навпіл
Для зручності зорового сприйняття ці значення наведені на малюнку нижче.

Значение синуса, косинуса и тангенса пи/4. sin pi/4, cos pi/4, tg pi/4

Примечание: см. также таблицу значений тригонометрических функций остальных углов.

0  


 Синус, косинус и тангенс угла 30 градусов (sin cos tg 30) - таблица значений | Описание курса | Синус, косинус, тангенс угла 30 и 60 градусов (sin cos tg 30 и 60) 
   

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!




Нажмите, чтобы рекомендовать эту страницу другим:
Рейтинг@Mail.ru Яндекс.Метрика