Правильная четырехугольная призма
129 / 176

Правильная четырехугольная призма

Определение.
Правильная четырехугольная призма - это шестигранник, основаниями которого являются два равных квадрата, а боковые грани представляют собой равные прямоугольники

Боковое ребро - это общая сторона двух смежных боковых граней
Высота призмы - это отрезок, перпендикулярный основаниям призмы
Диагональ призмы - отрезок, соединяющий две вершины оснований, которые не принадлежат к одной грани
Диагональная плоскость - плоскость, которая проходит через диагональ призмы и ее боковые ребра
Диагональное сечение - границы пересечения призмы и диагональной плоскости. Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы представляет собой прямоугольник
Перпендикулярное сечение (ортогональное сечение) - это пересечение призмы и плоскости, проведенной перпендикулярно ее боковым ребрам

Элементы правильной четырехугольной призмы

Правильная четырехугольная призма с элементами - ребро, основание, сечение, диагональ призмы

На рисунке изображены две правильные четырехугольные призмы, у которых обозначены соответствующими буквами:
  • Основания ABCD и A1B1C1D1 равны и параллельны друг другу
  • Боковые грани AA1D1D, AA1B1B, BB1C1C и CC1D1D, каждая из которых является прямоугольником
  • Боковая поверхность - сумма площадей всех боковых граней призмы
  • Полная поверхность - сумма площадей всех оснований и боковых граней (сумма площади боковой поверхности и оснований)
  • Боковые ребра AA1, BB1, CC1 и DD1.
  • Диагональ B1D
  • Диагональ основания  BD
  • Диагональное сечение BB1D1D
  • Перпендикулярное сечение A2B2C2D2 .

Свойства правильной четырехугольной призмы

  • Основаниями являются два равных квадрата
  • Основания параллельны друг другу
  • Боковыми гранями являются прямоугольники
  • Боковые грани равны между собой
  • Боковые грани перпендикулярны основаниям
  • Боковые ребра параллельны между собой и равны
  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и параллельно основаниям
  • Углы перпендикулярного сечения - прямые
  • Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы представляет собой прямоугольник
  • Перпендикулярное (ортогональное сечение) параллельно основаниям

Формулы для правильной четырехугольной призмы

Формулы площади и объема правильной четырехугольной призмы, включая диагональное сечение

Указания к решению задач


При решении задач на тему "правильная четырехугольная призма" подразумевается, что:

Правильная призма — призма в основании которой лежит правильный многоугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. То есть правильная четырехугольная призма содержит в своем основании квадрат. (см. выше свойства правильной четырехугольной призмы)

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия -  призма). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форумеДля обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ .   

Задача.

В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см2, а высота 14 см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности.

Решение.
Правильный четырехугольник - это квадрат.
Соответственно, сторона основания будет равна
144 = 12 см.
Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна
√( 122 + 122 ) = √288 = 12√2

Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна:
√( ( 12√2 )2 + 142 ) = 22 см

Ответ: 22 см

Задача

Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см.

Решение.
Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора:

a2 + a2 = 52
2a2 = 25
a = √12,5

Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна:

h2 + 12,5 = 42
h2 + 12,5 = 16
h2 = 3,5
h = √3,5

Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания

S = 2a2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см2 .

Ответ: 25 + 10√7 ≈ 51,46 см2 .
0  


 Призма с треугольником в основании ( часть 3) | Описание курса | Ромб в основании призмы 
   

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!



Нажмите, чтобы рекомендовать эту страницу другим:
... Рейтинг@Mail.ru Яндекс.Метрика