|
|
Вирішуємо нерівності. Приклади
Завдання 1.
Доведіть, що a2 - 6a + 10 > 0 за будь-якого значення a
Рішення
Перетворимо вихідну нерівність як
a2 - 6a + 9 + 1 > 0
тоді a2 - 6a + 9 можна уявити як (a-3)2 тобто
(a-3)2 + 1 > 0
(a-3)2 > -1
оскільки вираз у дужках при зведенні в квадрат буде позитивним або рівним нулю,
то нерівність виконуватиметься за будь-якого значення a.
Завдання 2.
Доведіть, що за будь-якого значення a виконується нерівність
a ( a - 8 ) > 2 ( a - 13)
Рішення
Перетворимо вихідну нерівність
a(a-8) - 2(a-13) > 0
a2 - 8a - 2a + 26 > 0
a2 -10a + 26 > 0
ліву частину нерівності представимо як
a2 - 10a + 25 + 1 >0
(a-5)2 + 1 > 0
(a-5)2 > -1
оскільки вираз у дужках при зведенні в квадрат буде позитивним або рівним нулю,
то нерівність виконуватиметься за будь-якого значення a.
Завдання 3. Дробно-раціональна нерівність
Розв'яжіть нерівність
( x−2 ) / ( x+3 ) >0
Рішення:
- Знайдемо нулі чисельника та знаменника:
x−2 = 0 ⇒ x = 2
x+3 = 0 ⇒ x = −3
-
Розбиваємо числову вісь на інтервали:
( −∞, −3 )
( −3, 2 )
( 2, ∞ )
-
Визначаємо знаки кожному з інтервалів, підставляючи пробні значення:
Для x = −4
у вираз ( x−2 ) / ( x+3 ) → (−4−2 ) / (−4+3 ) = − 6 / −1 = 6 (позитивне)
Для x=0
(0 - 2) / (0 + 3) = -2 / 3 (негативне)
Для x=3
( 3 − 2 ) / ( 3 + 3 ) = 1 / 6 (позитивне)
Нерівність ( x − 2 ) / ( x + 3 ) > 0 виконується при x∈(−∞,−3)∪(2,∞)
Відповідь: (−∞,−3)∪(2,∞)
Завдання 4. Модульна нерівність
Розв'яжіть нерівність
| x – 4 | < 5
Рішення:
За визначенням модуля: −5 < x−4 < 5
Додаємо 4 до всіх частин: −1 < x < 9
Нерівності |
Описание курса
| Диференціальне числення
|
