Еліпс

Елліпс - геометричне місце точок X Евклідової площини, для яких сума відстаней від двох даних точок F₁ і F₂ (називаються фокусами)
постійна, тобто | F₁X | + | F₂X | = 2a.
Эллипс - геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 (фокусов эллипса) есть величина постоянная. Середина отрезка F1 F2 (O) называется центром эллипса

Эллипс - геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 (фокусов эллипса) есть величина постоянная. Середина отрезка F1 F2 (O) называется центром эллипса

Загальноприйняті позначення для формул, що описують властивості еліпса, вказані на малюнку:
Обозначения элементов и размеров эллипса в формулах

Обозначения элементов и размеров эллипса в формулах

Велика вісь еліпса - це відрізок, що проходить через фокуси еліпса, обмежений еліпсом.
Довжина великої осі дорівнює 2a.
Мала вісь еліпса - це відрізок, перпендикулярний до великої осі еліпса, що проходить через її центр, і обмежений самим еліпсом.
Довжина малої осі дорівнює 2b.
Велика та мала півосі еліпса (a і b) – це відрізки, проведені з центру еліпса до вершин на великій та малій осях.
Фокальна відстань (c) – це відстань від центру еліпса до його фокусу.
Ексцентриситет (e) – це співвідношення фокальної відстані та великої півосі еліпса. Він однозначно характеризує величину
"деформації" еліпса по відношенню до кола і знаходиться в інтервалі [0, 1). Ближче до нуля – ближче до кола.
Коефіцієнт стиснення еліпса - це відношення довжин малої та великої півосей.
Якщо говорять про стиснення еліпса, то мають на увазі значення (1-k)

Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие — нулю.
Коэффициент сжатия и эксцентриситет эллипса связаны соотношением
Диаметром эллипса называется любая хорда, проходящая через его центр.
Пару диаметров, обладающих следующим свойством, называют сопряжёнными:
середины всех хорд, параллельных одному из них, расположены на втором диаметре.
Аналогично, середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом.
Радиус эллипса в данной точке это отрезок, соединяющий центр эллипса с точкой, а также его длина, которая вычисляется по формуле

где φ — угол между радиусом и большой полуосью.
Фокальный параметр — это половина длины хорды, которая проходит через фокус эллипса и перпендикулярна его большой оси

Каноническое уравнение эллипса

Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):

Каноническое уравнение эллипса описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат. Для определённости положим, что 0 < b ≤ a. В этом случае величины a и b — соответственно, большая и малая полуоси эллипса.

Зная полуоси эллипса можно вычислить его фокальное расстояние и эксцентриситет:
Формула эксцентриситета эллипса

Координаты фокусов эллипса в этом случае будут (ae;0), и (-ae;0)

Эллипс имеет две директриссы, уравнения которых можно записать как
х = a / ε и х = - a / ε

Уравнение диаметра эллипса, сопряжённого хордам с угловым коэффициентом k:

Уравнение касательных эллипса, проходящих через точку (x₁y₁)

Уравнение касательных эллипса, проходящих через точку (x1y1)

Уравнение касательных эллипса, имеющих данный угловой коэффициент k

Уравнение нормали эллипса в точке (x₁y₁)

Уравнение нормали эллипса в точке x1y1

Примеры решения задач

Задача.
Найдите эксцентриситет эллипса
x² / 8 + y² / 6 = 1

Решение.
По формуле нахождения эксцентриситета эллипса (см. выше)
ε = √(64 - 36) / 8
ε = √28 / 8 = 2√7 / 8 = √7 / 4 ≈ 0,66 ≈ 2/3

Функції | Описание курса | Властивості нескінченно малих і нескінченно великих функцій