Розв'язання задачі максимізації прибутку та продажів

Умова задачі:
Місцевий музей відвідують студенти та пенсіонери.
Попит студентів на квитки описується рівнянням:

Попит пенсіонерів:

Максимальна місткість музею – 200 осіб.
Необхідно визначити вартість квитків для студентів і пенсіонерів, щоб забезпечити максимальну заповнюваність музею та отримати найбільший прибуток.

Коментарі до завдання

Коректність постановки задачі.

• У реальній економіці такі лінійні моделі попиту зустрічаються рідко, але в рамках алгебри завдання зведено до знаходження екстремуму функції.
• У завданні не враховуються витрати музею, тому коректно говорити про максимізацію виручки, а не прибуток.

Крок 1. Запис функції виручки

Загальна виручка музею від продажу квитків - Формула 1

Підставляємо рівняння попиту з умов задачи - Формула 2

Розкриваємо дужки - Формула 3

Тепер врахуємо обмеження місткості музею, з чого отримаємо можливість позбутися другої змінної - Формула 4

Підставляємо в Формулу 3 ( вираз виручки ) значення з Формули 4 (кількість відвідувачів) і отримуємо Формулу 5 вже з однією змінною.

Розкриваємо дужки і результат записуємо у Формулу 6.

Спрощуємо вираз - Формула 7

Наприквнці отримуємо функцію виручки, виходячи із умов задачи - Формула 8.

Крок 2. Оптимізація виручки

Як ми знаємо з курсу алгебри, максимум функція досягає у точці екстремуму.
Знайдемо екстремум функції.
Для цього нам необхідно знайти її похідну:

V' = ( 220q₁ - q₁² )'

V′ = 220 − 2q₁

У точці екстремуму похідна функції дорівнює нулю.
Прирівнюємо похідну до нуля:

220 − 2q₁ = 0 
q₁ = 110

Тепер знаходимо значення другої змінної q₂​:

q₂ = 200 − 110 = 90 (Формула 4)

Крок 3. Визначення оптимальних цін

Підставляємо значення в рівняння попиту, яке вказано в умовах задачи:

P₁ = 120−110 / 2 = 120 − 55 = 65
P₂ = 100−90 / 2 = 100 − 45 = 55

Крок 4. Обчислення максимальної виручки

V = 110×65 + 90×55
V = 7 150 + 4 950 = 12 100

Відповідь

Оптимальні ціни квитків для максимізації виручки:

• Студенти: 65
• Пенсіонери: 55
• Максимальна виручка: 12 100 грошових одиниць