Маятник

Задача

Условие: Маятниковые часы, выверенные при комнатной температуре, уходят за сутки на ∆t = 2 мин вследствие изменения длины маятника, вызванного понижением температуры. Как нужно изменить длину маятника, чтобы часы шли верно?

Решение: Из-за понижения температуры длина l₁ маятниковых часов, выверенных при комнатной температуре, уменьшается и становится равной l₂. Период колебаний таких часов уменьшается, поскольку ускорение a остается неизменным. За сутки – время t₁ – эти часы сделают большее число колебаний, чем точные часы, и, следовательно, будут спешить. Согласно формуле полной механической энергии колеблющейся точки:

Завдання

Умова: Маятниковий годинник, вивірений при кімнатній температурі, йде за добу на ∆t = 2 хв внаслідок зміни довжини маятника, викликаного зниженням температури. Як потрібно змінити довжину маятника, щоб годинник ішов правильно?

Рішення: Через пониження температури довжина l₁ маятникового годинника, вивіреного при кімнатній температурі, зменшується і стає рівною l₂. Період коливань такого годинника зменшується, оскільки прискорення a залишається незмінним. За добу - час t₁ - цей годинник зробить більше число коливань, ніж точний годинник, і, отже, буде поспішати. Згідно з формулою повної механічної енергії коливної точки:

так как в данном случае а₁=а₂=g₀.

Чтобы часы шли точно, маятник часов нужно удлинить настолько, насколько он уменьшился при охлаждении. Относительное изменение длины, которое нам требуется определить, должно быть при этом равно (l₁-l₂)/l₂.

Из уравнений выше находим отношение l₁/l₂:

так як в даному випадку а₁=а₂=g₀.

Щоб годинник ішов точно, маятник годинника потрібно подовжити настільки, наскільки він зменшився при охолодженні. Відносна зміна довжини, яку нам потрібно визначити, має бути при цьому дорівнювати (l₁-l₂)/l₂.

З рівнянь вище знаходимо відношення l₁/l₂:

(в задачах данного типа, если ∆t<<t₁, членом ∆t²/t₁² можно пренебречь и этим упростить вычисления). Решая последнее уравнение относительно искомого изменения длины, получим:

(у завданнях цього типу, якщо ∆t<<t₁, членом ∆t²/t₁² можна знехтувати і цим спростити обчислення). Вирішуючи останнє рівняння відносно шуканої зміни довжини, отримаємо: