Решаем неравенства

Докажите, что a²-6a+10>0 при любом значении a

Решение

Преобразуем исходное неравенство как
a²-6a+9+1>0
тогда a²-6a+9 можно представить как (a-3)² то есть
(a-3)²+1>0
(a-3)²>-1
поскольку выражение в скобках при возведении в квадрат будет положительным или равным нулю,
то неравенство будет выполняться при любом значении a.

Докажите, что при любом значении a выполняется неравенство
a(a-8)>2(a-13)

Решение

Преобразуем исходное неравенство
a(a-8)-2(a-13)>0
a²-8a-2a+26>0
a²-10a+26>0
левую часть неравенства представим как
a²-10a+25+1>0
(a-5)²+1>0
(a-5)²>-1
поскольку выражение в скобках при возведении в квадрат будет положительным или равным нулю,
то неравенство будет выполняться при любом значении a.

Задача 3. Дробно-рациональное неравенство

Решите неравенство

Решение:

1. Найдём нули числителя и знаменателя:
   • x−2 = 0 ⇒ x = 2
   • x+3 = 0 ⇒ x = −3
2. Разбиваем числовую ось на интервалы:
   • ( −∞, −3 )
   • ( −3, 2 )
   • ( 2, ∞ )
3. Определяем знаки на каждом из интервалов, подставляя пробные значения:
   • Для x = −4 
     в выражение ( x−2 ) / ( x+3 ) → (−4−2 ) / (−4+3 ) = − 6 / −1 = 6  (положительное)
   • Для x=0
     ( 0 − 2 ) / ( 0 + 3 ) = −2 / 3 ​ (отрицательное)
   • Для x=3
     ( 3 − 2 ) / ( 3 + 3 ) = 1 / 6​ (положительное)
4. Неравенство ( x − 2 ) / ( x + 3 ) > 0  выполняется при x∈(−∞,−3)∪(2,∞) 

Ответ: (−∞,−3)∪(2,∞)

Задача 4. Модульное неравенство

Решите неравенство

Решение:

1. По определению модуля: −5 < x−4 < 5
2. Добавляем 4 ко всем частям: −1 < x < 9

Ответ: (−1,9)