Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций

В дальнейшем для краткости будем называть функции бесконечно малые и бесконечно большие.

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малой функцией.
2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция в данной точке.
3. Произведение бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
4. Сумма бесконечно больших функций одного знака есть бесконечно большая функция.
5. Произведение бесконечно больших функций есть бесконечно большая функция.
6. Частное двух бесконечно малых функций f₁ / f₂ является неопределенностью вида «0/0».
7. Разность двух бесконечно больших функций одного знака есть неопределенность вида «∞-∞».
8. Если f(x) при x→x₀ есть бесконечно малая функция, то 1 / f(x) в том же предельном переходе есть бесконечно большая функция.

Второе определение предела функции при x→x₀

Если при x→x₀ предел функции f(x) равен A, то разность f(x)−A=α, где α – бесконечно малая функция.

Обратное утверждение: если при x→x₀ функцию f(x) можно представить в виде суммы некоторого числа A и бесконечно малой функции,
т.е. f(x)=A+α, то предел функции f(x) при x→x₀ равен A.