Список предметов
Квадратный корень. Квадратний корінь
31 / 63
Развернуть структуру обучения Свернуть структуру обучения

Квадратный корень и его преобразования. Квадратний корінь і його перетворення


  • Квадратный корень из отрицательного числа не существует
  • Квадратный корень из числа 0 равен 0
  • Квадратный корень из положительного числа имеет два значения: положительное число
  • Неотрицательное значение квадратного корня называют арифметическим квадратным корнем из числа.

Понятие квадратных корней числа возникло около 4 тысяч лет назад в Вавилоне. Переход от определения площади квадрата по его стороне к обратному действию – поиску стороны квадрата по его площади, привел к развитию раздела математики о квадратных корнях. Еще в Вавилоне были составлены таблицы квадратов чисел и величины квадратных корней из числа. Правда, вычисления были приближенными. Подробный метод извлечения квадратных корней был описан только в 1 веке до н.э. древнегреческим ученым Героном Александрийским.

Квадратный корень из числа а – это число b, которое, будучи возведенным в квадрат, равно числу а.


  • Квадратний корінь з від'ємного числа не існує
  • Квадратний корінь з числа 0 дорівнює 0
  • Квадратний корінь з позитивного числа має два значення: позитивне число
  • Невід'ємне значення квадратного кореня називають арифметичним квадратним коренем з числа.

Поняття квадратного кореня числа виникло близько 4 тисяч років тому у Вавилоні. Перехід від визначення площі квадрата за його стороні до зворотної дії - пошуку сторони квадрата за його площі, призвів до розвитку розділу математики про квадратні корені. Ще у Вавилоні були складені таблиці квадратів чисел і величини квадратних коренів з числа. Правда, обчислення були наближеними. Детальний метод добування квадратних коренів був описаний лише у 1 столітті до н.е. давньогрецьким ученим Героном Олександрійським.

Квадратний корінь з числа а - це число b, яке, будучи зведеною у квадрат, дорівнює числу а.



Арифметический квадратный корень. Арифметичний квадратний корень


Знак арифметического квадратного корня – «». Арифметический квадратный корень из числа а обозначают √a. Выражение √a имеет смысл только при а≥0.

Вычисление арифметического значения квадратного корня называется извлечением квадратного корня.

Арифметическим квадратным корнем из числа а называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.

где a≥0

Из определения арифметического квадратного корня следует, что равенство √a=b правильное только тогда, когда выполняются следующие условия:

1). b≥0; 2).b2=a

Следовательно, если a>0, то существует два квадратных корня из этого числа; √a(арифметический квадратный корень) и -√a.

Например:

1. Квадратными корнями из числа 49 являются числа х1=7 и х2=-7, так как 72=49(-7)2=49

Арифметическим квадратным корнем из числа 49 является только число х1=√49=7.

Следовательно, квадратными корнями из числа 49 являются числа х1=√49=7 и х2=-√49=-7

2. Выражение √-9 смысла не имеет, так как -9<0.

3. √0,64=0,8, так как 0,8>0 и 0,82=0,64.

4. Равенство √36=-6 неверное, так как -6<0, что противоречит определению арифметического квадратного корня.

Правило: Корень из степени a2k, где число а -неотрицательное число и kϵN, равен ak, т.е. √a2k=ak.

Следовательно, √a2=a при а≥0.

Правило: Равенство √a2=│a│ верно при любом значении а.

Точно извлечь квадратный корень можно только из числа или выражения, представленного степенью, показатель которой кратен 2, с рациональным основанием. Корни квадратные других чисел извлекаются приближенно (с определенной условием точностью).

Так, √3 означает такое положительное число х, квадрат которого равен 3.

12=122=4, а 1<3<4, тогда арифметический квадратный корень из трех это число, находящееся между натуральными числами 1 и 2, то есть число дробное. Попробуем подобрать число, квадрат которого равен 3. Бесконечная непериодическая дробь 1,7320508… удовлетворяет этому условию.

Принято считать √3≈1,73.

Знак арифметичного квадратного кореня - «». Арифметичний квадратний корінь з числа а позначають √a. Вираз √a має сенс тільки при а≥0.

Обчислення арифметичного значення квадратного кореня називається добуванням квадратного кореня.

Арифметичним квадратним коренем з числа а називається таке невід'ємне число, квадрат якого дорівнює а.

де a≥0

З визначення арифметичного квадратного кореня випливає, що рівність √a=b правильне тільки тоді, коли виконуються наступні умови:

1). b≥0; 2). b2=a

Отже, якщо a>0, то існує два квадратних кореня з цього числа; √a (арифметичний квадратний корінь) і -√a.

Наприклад:

1. Квадратними коренями з числа 49 є числа х1=7 і х2=-7, так як 72=49(-7)2=49

Арифметичним квадратним коренем з числа 49 є тільки число х1=√49=7.

Отже, квадратними коренями з числа 49 є числа х1=√49=7 и х2=-√49=-7

2. Вираз √-9 сенсу не має, так як -9<0.

3. √0,64=0,8, так як 0,8>0 і 0,82=0,64.

4. Рівність √36=-6 невірне, так як -6<0, що суперечить визначенню арифметичного квадратного кореня.

ПравилоКорінь зі ступеня a2k, де число, а невід’ємне число і kϵN, дорівнює ak, тобто √a2k=ak.

Отже, √a2=a при а≥0.

Правило: Рівність √a2=│a│вірно при будь-якому значенні а.

Точно витягти квадратний корінь з числа або вирази, представленого ступенем, показник якої кратні 2, з раціональним підставою. Корені квадратні інших чисел витягуються наближено (з певною умовою точністю).

Так, √3 означає таке додатне число х, квадрат якого дорівнює 3.

12=122=4, а 1<3<4, тоді арифметичний квадратний корінь з трьох це число, яке знаходиться між натуральними числами і 2, тобто число дробове. Спробуємо підібрати число, квадрат якого дорівнює 3. Нескінченна неперіодична дріб 1,7320508... задовольняє цій умові.

Прийнято вважати √3≈1,73.

1974.9513  


 Операции с корнями на основе ствойств степени | Описание курса | Свойства квадратного корня. Властивості квадратного кореня 
   

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!




Нажмите, чтобы рекомендовать эту страницу другим:
Рейтинг@Mail.ru