Квадратный корень и его преобразования. Квадратний корінь і його перетворення

Знак арифметического квадратного корня – «√». Арифметический квадратный корень из числа а обозначают √a. Выражение √a имеет смысл только при а≥0.

Вычисление арифметического значения квадратного корня называется извлечением квадратного корня.

Арифметическим квадратным корнем из числа а называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.

где a≥0

Из определения арифметического квадратного корня следует, что равенство √a=b правильное только тогда, когда выполняются следующие условия:

1). b≥0; 2).b²=a

Следовательно, если a>0, то существует два квадратных корня из этого числа; √a(арифметический квадратный корень) и -√a.

Например:

1. Квадратными корнями из числа 49 являются числа х¹=7 и х²=-7, так как 7²=49, (-7)²=49

Арифметическим квадратным корнем из числа 49 является только число х₁=√49=7.

Следовательно, квадратными корнями из числа 49 являются числа х₁=√49=7 и х₂=-√49=-7

2. Выражение √-9 смысла не имеет, так как -9<0.

3. √0,64=0,8, так как 0,8>0 и 0,8²=0,64.

4. Равенство √36=-6 неверное, так как -6<0, что противоречит определению арифметического квадратного корня.

Правило: Корень из степени a^2k, где число а -неотрицательное число и kϵN, равен a^k, т.е. √a^2k=a^k.

Следовательно, √a²=a при а≥0.

Правило: Равенство √a²=│a│ верно при любом значении а.

Точно извлечь квадратный корень можно только из числа или выражения, представленного степенью, показатель которой кратен 2, с рациональным основанием. Корни квадратные других чисел извлекаются приближенно (с определенной условием точностью).

Так, √3 означает такое положительное число х, квадрат которого равен 3.

1²=1, 2²=4, а 1<3<4, тогда арифметический квадратный корень из трех это число, находящееся между натуральными числами 1 и 2, то есть число дробное. Попробуем подобрать число, квадрат которого равен 3. Бесконечная непериодическая дробь 1,7320508… удовлетворяет этому условию.

Принято считать √3≈1,73.

Знак арифметичного квадратного кореня - «√». Арифметичний квадратний корінь з числа а позначають √a. Вираз √a має сенс тільки при а≥0.

Обчислення арифметичного значення квадратного кореня називається добуванням квадратного кореня.

Арифметичним квадратним коренем з числа а називається таке невід'ємне число, квадрат якого дорівнює а.

де a≥0

З визначення арифметичного квадратного кореня випливає, що рівність √a=b правильне тільки тоді, коли виконуються наступні умови:

1). b≥0; 2). b2=a

Отже, якщо a>0, то існує два квадратних кореня з цього числа; √a (арифметичний квадратний корінь) і -√a.

Наприклад:

1. Квадратними коренями з числа 49 є числа х¹=7 і х²=-7, так як 7²=49, (-7)²=49

Арифметичним квадратним коренем з числа 49 є тільки число х₁=√49=7.

Отже, квадратними коренями з числа 49 є числа х₁=√49=7 и х₂=-√49=-7

2. Вираз √-9 сенсу не має, так як -9<0.

3. √0,64=0,8, так як 0,8>0 і 0,8²=0,64.

4. Рівність √36=-6 невірне, так як -6<0, що суперечить визначенню арифметичного квадратного кореня.

Правило: Корінь зі ступеня a^2k, де число, а невід’ємне число і kϵN, дорівнює a^k, тобто √a^2k=a^k.

Отже, √a²=a при а≥0.

Правило: Рівність √a²=│a│вірно при будь-якому значенні а.

Точно витягти квадратний корінь з числа або вирази, представленого ступенем, показник якої кратні 2, з раціональним підставою. Корені квадратні інших чисел витягуються наближено (з певною умовою точністю).

Так, √3 означає таке додатне число х, квадрат якого дорівнює 3.

1²=1, 2²=4, а 1<3<4, тоді арифметичний квадратний корінь з трьох це число, яке знаходиться між натуральними числами 1 і 2, тобто число дробове. Спробуємо підібрати число, квадрат якого дорівнює 3. Нескінченна неперіодична дріб 1,7320508... задовольняє цій умові.

Прийнято вважати √3≈1,73.