Пояснение:
При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.
3. Производная переменной и множителя равна этому множителю
сx´ = с
Пример:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Пояснение:
В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (
х) ее значение (y) растет в
с раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине
с.
Откуда следует, что
(cx + b)' = c
то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k).
4.
Производная переменной по модулю равна частному этой переменной к ее модулю
|x|' = x / |x| при условии, что х ≠ 0
Пояснение:
Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами. Именно такое значение и возвращает выражение x / |x| . Когда x < 0 оно равно (-1), а когда x > 0 - единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных - наоборот, возрастает, но точно на такое же значение.
5.
Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу
( xc )'= cxc-1, при условии, что x
c и сx
c-1,определены а с ≠ 0
Пример:
(x
2 )' = 2x
(x
3)' = 3x
2
Для запоминания формулы:
Снесите степень переменной "вниз" как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x
2 - двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x
3 - тройку "спускаем вниз", уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x
2 . Немного "не научно", но очень просто запомнить.
6.
Производная дроби 1/х
(1/х)' = - 1 / x2
Пример:
Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень
(1/x)' = (x
-1 )' , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных
(x
-1 )' = -1x
-2 = - 1 / х
2
7.
Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе
( 1 / xc )' = - c / xc+1
Пример:
( 1 / x
2 )' = - 2 / x
3
8.
Производная корня (производная переменной под квадратным корнем)
( √x )' = 1 / ( 2√x ) или 1/2 х
-1/2
Пример:
( √x )' = ( х
1/2 )' значит можно применить формулу из правила 5
( х
1/2 )' = 1/2 х
-1/2 = 1 / (2√х)
9.
Производная переменной под корнем произвольной степени
( n√x )' = 1 / ( n n√xn-1 )
.
Приведенная здесь таблица производных простых функций содержит только основные преобразования, которые (по большому счету) следует запомнить наизусть. Нахождение более сложных производных приведены в соответствующих таблицах других уроков:
1.