Список предметов
Сложение и вычитание дробей. Додавання і віднімання дробів
11 / 63
Развернуть структуру обучения Свернуть структуру обучения

См. также: более простой уровень - сложение и вычитание простых дробей для младших классов.

Сложение и вычитание дробей. Додавання і віднімання дробів


Сложение (вычитание) дробей производится по правилам сложения (вычитания) обыкновенных дробей.

Слагаемыми, уменьшаемым и вычитаемым в числителе или знаменателе дроби могут быть любые рациональные числа или выражения с переменными. Исключения составляют число 0 и выражения, обращающие знаменатель в нуль.

Правило: Чтобы сложить (вычесть) дроби с одинаковым знаменателем, не равным нулю, нужно сложить (вычесть) их числители и оставить тот же знаменатель.

Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, не равными нулю, нужно найти общий знаменатель дробей и дополнительные множители. Умножить числители на дополнительные множители и взять произведения слагаемыми (от первого произведения вычесть второе), оставить общий знаменатель под суммой (разностью).

Рассмотрим сложение и вычитание дробей на примерах:

Додавання (віднімання) дробів проводиться за правилами складання (віднімання) звичайних дробів.

Доданками, зменшуваним і від'ємником в чисельнику або знаменнику дробу можуть бути будь-які раціональні числа або вирази зі змінними. Винятки становлять число 0 і вирази, які звертають знаменник в нуль.

Правило: Щоб додати (відняти) дроби з однаковим знаменником, не рівним нулю, треба додати (відняти) їх чисельники і знаменник залишити той самий.

Щоб додати (відняти) дроби з різними знаменниками, не рівними нулю, потрібно знайти спільний знаменник дробів і додаткові множники. Помножити чисельники на додаткові множники і взяти добуток складовими (від першого добутку відняти другий), залишити спільний знаменник під сумою (різницею).

Розглянемо додавання і віднімання дробів на прикладах:


Примеры сложения и вычитания простых дробей. Приклади складання та віднімання звичайних дробів


ЗАДАЧА 1: Сумма дробей, у которых знаменатели одинаковые (произведение одночлена на многочлен), а числители: у первой дроби – многочлен, у второй дроби – одночлен.ЗАВДАННЯ 1: Сума дробів, у яких однакові знаменники (добуток одночлена на багаточлен), а чисельники: у першому дробу - багаточлен, у другому - одночлени.

Задача на сложение дробей с использованием переменных. Завдання на складання дробів з використанням змінних.

Так как знаменатели дробей одинаковые, то сложим числители дробей и подпишем тот же знаменатель.

В числителе выражение x2+y2+2xy можно заменить по формулам сокращенного умножения на квадрат двучлена, так как, используя переместительный закон сложения, трехчлен можно записать как x2+2xy+y2.

Так як знаменники дробів однакові, то складемо чисельники дробів і підпишемо той же знаменник.

В чисельнику виразу x2+y2+2xy можна замінити за формулами скороченого множення на квадрат двочлена, так як, використовуючи переміщуючий закон додавання, тричлен можна записати як x2+2xy+y2.


Сокращение дроби, имеющей в числителе и знаменателей одинаковые выражения. Скорочення дробу, що має в чисельнику і знаменнику однакові вирази.

при а≠0х≠-у.

Квадрат любого основания есть произведение двух одинаковых сомножителей, поэтому в числителе вместо квадрата суммы пишем произведение одинаковых двучленов, один из которых можно сократить с таким же двучленом в знаменателе.

Сумма имеет смысл при любых а, кроме а=0х=-у.

при а≠0, х≠-у.

Квадрат будь-якої основи є добуток двох однакових співмножників, тому в чисельнику замість квадрата суми пишемо добуток однакових двочленів, один з яких можна скоротити з таким же двочленом в знаменнику.

Сума має сенс при будь-яких а, крім а=0, х=-у.



ЗАДАЧА 2: Разность двух алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Числители и знаменатели обеих дробей – многочлены.ЗАДАЧА 2: Різниця двох алгебраїчних дробів з однаковими знаменниками. Чисельники і знаменники обох дробів - багаточлени.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Віднімання дробів з однаковими знаменниками

В числителе полученной дроби приведем подобные, а в знаменателе трехчлен заменим по формуле сокращенного умножения на квадрат разности, который можно записать как произведение двух одинаковых множителей:У чисельнику отриманого дробу наведемо подібні, а в знаменнику тричлен змінимо за формулою скороченого множення на квадрат різниці, який можна записати як добуток двох однакових множників:

Сокращение дробей с одинаковыми выражениями в числителе  и знаменателе. Скорочення дробів з однаковими виразами в чисельнику  і знаменнику.


при a-b≠0.

Числитель и знаменатель имеют одинаковый множитель-двучлен, на который их можно по основному свойству дроби сократить. Решение будет верным при всех значениях а и в, кроме а=в.

при a-b≠0.

Чисельник і знаменник мають однаковий множник-двочлен, на який їх можна за основною властивістю дробу скоротити. Рішення буде вірним при всіх значеннях а ів, крім а=в.



ЗАДАЧА 3: Сумма двух дробей с одинаковыми знаменателями, которые представлены одночленами в числителях и многочленом – в знаменателях.ЗАДАЧА 3: Сума двох дробів з однаковими знаменниками, які представлені одночленами в чисельниках і багаточленом - в знаменниках.

Сложение дробей с использованием формулы разложения суммы кубов на произведение двучлена и трехчлена. Складання дробів з використанням формули розкладання суми кубів на твір двочлена і тричлена.


В числителе сумма кубов заменяем по формуле сокращенного умножения на произведение двучлена и трехчлена.

Сократим общий двучлен числителя и знаменателя по основному свойству дроби.

Результатом является целое выражение:

У чисельнику суму кубів замінюємо за формулою скороченого множення на добуток двочлена і тричлена.

Скоротимо загальний двочлен чисельника та знаменника за основною властивістю дробу.

Результатом є цілий вираз:


Сокращение дроби с одинаковым выражением в числителе и знаменателе до трехчлена. Скорочення дробу з однаковим вираженням в чисельнику і знаменнику до тричлена.

при a≠-b.при a≠-b.


ЗАДАЧА 4:Разность дробей с разными знаменателями, у которых числители и знаменатели – одночлены.ЗАДАЧА 4:Різницю дробів з різними знаменниками, у яких чисельники і знаменники - одночлени.

Вычитание дробей с разными знаменателями (алгебраическими выражениями). Віднімання дробів з різними знаменниками (виразами алгебри).

при х≠0, у≠0.

Найдем общий знаменатель дробей как произведение оснований с наибольшими показателями степеней. Проставим дополнительные множители.

Умножим одночлены числителей на их дополнительные множители и запишем произведения разностью одночленов, а в знаменателе – общий знаменатель.

Из числителя выносим общий множитель (2) и записываем числитель как произведение одночлена на многочлен.

Дальнейшее преобразование невозможны, дробь имеет решения при всех значениях переменных, кроме х=у=0.

при х≠0, у≠0.

Знайдемо загальний знаменник дробів як добуток основ з найбільшими показниками ступенів. Проставимо додаткові множники.

Помножимо одночлени чисельників на їх додаткові множники і запишемо добутки різницею одночленів, а в знаменнику - загальний знаменник.

З чисельника виносимо загальний множник (2) і записуємо чисельник як добуток одночлена на багаточлен.

Подальші перетворення неможливі, дріб має рішення при всіх значеннях змінних, крім х=у=0.



ЗАДАЧА 5: Сумма дробей с разными знаменателями, у которых числители и знаменатели – многочлены.ЗАДАЧА 5: Сума дробів з різними знаменниками, у яких чисельники і знаменники - багаточлени.

Сложение дробей с разными алгебраическими выражениями в знаменателе. Складання дробів з різними виразами алгебри в знаменнику.

Общий знаменатель дробей равен произведению их знаменателей. Проставим дополнительные множители, умножим числители на их дополнительные множители и произведения возьмем суммой. Подпишем под числителем общий знаменатель.

Перемножим в числителях многочлены и запишем одним многочленом. В знаменателе произведение двучленов по формуле сокращенного умножения переведем в многочлен (разность квадратов):

Спільний знаменник дробів дорівнює добутку їх знаменників. Проставимо додаткові множники, помножимо чисельники на їх додаткові множники і добутки візьмемо сумою. Підпишемо під чисельником спільний знаменник.

Перемножимо в чисельниках багаточлени і запишемо одним багаточленом. У знаменнику твір двочленів за формулою скороченого множення переведемо в багаточлен (різниця квадратів):


Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые в числителе дроби. Розкриваємо дужки і приводимо подібні доданки в чисельнику дробу.

Приведем подобные слагаемые в числителе:Наведемо подібні доданки в чисельнику:

Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые. Розкриваємо дужки в чисельнику і приводимо подібні доданки.

при х2-у2≠0.

Получилась дробь, у которой в числителе и знаменателе двучлены.

Из числителя можно вынести общий множитель (2), но это не упростит дробь.

Все действительные значения неизвестных будут решением дроби, кроме х=±у, что обращает знаменатель в 0.

при х2-у2≠0.

Вийшов дріб, у якому в чисельнику і знаменнику двочлени.

З чисельника можна винести спільний множник (2), але це не спростить дріб.

Всі дійсні значення невідомих будуть рішенням дробу, крім х=±у, що звертає знаменник на 0.


0  


 Сложение и вычитание простых дробей | Описание курса | Вычислить выражение с простыми и десятичными дробями 
   

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!




Нажмите, чтобы рекомендовать эту страницу другим:
Рейтинг@Mail.ru