Письменное умножение и деление (в столбик). Письмове множення і ділення (в стовбчик)

Большие числа удобно перемножать и делить письменно в столбик.

Письменное умножение – это поразрядное умножение. Каждый разряд второго множителя умножается на первый множитель как одноразрядное число. В произведении поэтапного (разрядного) умножения первый разряд попадает в столбец того разряда второго множителя, на который умножают.

Правило: При умножении в столбик два множителя располагаются один под другим так, чтобы разряды чисел совпадали (находились в одном столбце). Слева ставится знак «х».

Если один из множителей или оба множителя оканчиваются нулями, то числа записываются так, чтобы значащие цифры наименьшего из разрядов находились в одном столбце. Нули переносятся в произведение и в поле записи поэтапных произведений не заносятся.

Поэтапные (разрядные) произведения складываются по разрядам и под чертой записывается результат. Слева от слагаемых произведений ставится знак «х».

Письменное умножение в столбик равноценно письменному умножению по разрядам в строку.

При письменном умножении в строку применяются сочетательный и распределительный законы умножения (сумму заменяем слагаемыми и первый умножаем на каждое из слагаемых).

Пример:

1014*258=261612

1014*258=1014*(200+50+8)=

1014*200+1014*50+1014*8=

202800+50700+8112=261612

Чтобы перемножить в столбик два числа, оканчивающиеся нулями, нужно их подписать друг под другом так, чтобы первая справа значащая цифра первого множителя стояла под первой справа значащей цифрой второго множителя.

Например:

1014 * 258 = 261612

_Х   1014 – первый множитель;

    258 – второй множитель;

   8112 – произведение и первое слагаемое;

+ 5070  – второе слагаемое;

 2028   – третье слагаемое;

 261612 – сумма.

Примеры записи умножения чисел, оканчивающихся нулями:

_Х 450 – первый множитель;

  270 – второй множитель

 315

⁺90   

121500

Внимание! Нули в конце множителей в поэтапном умножении не принимают участия, а сразу все нули множителей переносятся в результат вычислений.

Письменное деление многозначных натуральных чисел осуществляется и в строку, и в столбик по этапам.

Правило: При письменном делении двух натуральных чисел слева записывается делимое, а справа от него вертикальную черту – делитель.

Под делимым в столбец записываются поэтапные произведения каждого разряда частного на делитель. После каждого поэтапного произведения проводим горизонтальную черту, под которой записывается разность делимого и произведения, которая должна быть всегда меньше делителя, если разряд частного вычислен верно. Дополнив разность следующим разрядом делимого, принимаем это число за следующее поэтапное делимое.

Деление по этапам производим до первого разряда заданного условием делимого. Если последняя разность 0 или число, меньшее делителя, то деление натуральных чисел окончено.

Частное по разрядам (от большего к меньшему) записывается под горизонтальной чертой под делителем. В частном должно быть столько же разрядов, сколько этапов деления.

Рассмотрим пример: 12546 : 82

Производим деление первого этапа. Множитель (1) записываем как высший разряд частного. Вычисляем разность делимого и произведения первого этапа деления (125-82=43) и дописываем к ней справа один разряд из делимого, который стоит после наименьшего разряда числа, взятого для первого этапа деления. Полученное число (434) служит делимым второго этапа деления.

Делимое второго этапа делим на делитель (434:82), определяем следующий разряд в частном (5) и остаток после второго этапа деления (24). Дописываем к остатку следующий разряд делимого и выполняем третий этап деления (246:82). Определяем третье число в частном (3) и остаток (0).

Деление окончено после третьего этапа, следовательно, в частном – трехразрядное число (153).

Проще такое деление производить в столбик также в три этапа (деление углом – это тоже поэтапное деление):

_12546│82

  82  │153

  434

  410

   246

   246

     0

Делимое кратно 82, так как разделилось без остатка.

Великі числа зручно множити і ділити письмово у стовпчик.

Письмове множення - це порозрядне множення. Кожен розряд другого множника множиться на перший множник як одноразрядне число. У творі поетапного (розрядного) множення перший розряд потрапляє в стовпець того розряду другого множника, на який множать.

Правило: При множенні в стовпчик два множника розташовуються один під одним так, щоб розряди чисел збігалися (знаходилися в одному стовпці). Ліворуч ставиться знак «х».

Якщо один з множників або обидва множника закінчуються нулями, то числа записуються так, щоб значущі цифри найменшого з розрядів знаходилися в одному стовпці. Нулі переносяться у твір і в поле запису поетапних творів не заносяться.

Поетапні (розрядні) твори складаються за розрядами і під рискою записується результат. Зліва від доданків творів ставиться знак «х».

Письмове множення у стовпчик рівноцінно письмовому множенню за розрядами в рядок.

При письмовому множенні в рядок застосовуються поєднальний і розподільний закони множення (суму замінюємо складовими і перший множимо на кожне з доданків).

Приклад:

1014*258=261612

1014*258=1014*(200+50+8)=

1014*200+1014*50+1014*8=

202800+50700+8112=261612

Щоб перемножити в стовпчик два числа, що закінчуються нулями, потрібно їх підписати один під одним так, щоб перша справа значуща цифра першого множника стояла під першою праворуч значущої цифри другого множника.

Наприклад:

1014 * 258 = 261612

_Х  1014 - перший множник;

    258 - другий множник;

   8112 - твір і перший доданок;

+ 5070  - другий доданок;

2028    - третій доданок;

 261612 – сума.

Приклади запису множення чисел, закінчуються

нулями:

_Х 450 - перший множник;

  270 - другий множник;

 315

+ 90

121500

Увага! Нулі в кінці множників у поетапному множенні не беруть участі, а відразу всі нулі множників переносяться в результат обчислень.

Письмове ділення багатозначних натуральних чисел здійснюється і в рядок і стовпчик за етапами.

Правило: При письмовому діленні двох натуральних чисел зліва записується ділене, а праворуч від нього через вертикальну риску - дільник.

Під діленим в стовпець записуються поетапні множення кожного розряду частки на дільник. Після кожного поетапного множення проводимо горизонтальну риску, під якою записується різниця діленого і множення, яка повинна бути завжди менше дільника, якщо розряд частки обчислений вірно. Доповнивши різницю наступним розрядом діленого, приймаємо це число за наступне поетапне ділене.

Розподіл за етапами виробляємо до першого розряду заданого умовою діленого. Якщо остання різниця 0 або число, менше дільника, то ділення натуральних чисел закінчено.

Частка за розрядами (від більшого до меншого) записується під горизонтальною рискою під дільником. У частці повинно бути стільки ж розрядів, скільки етапів розподілу.

Розглянемо приклад: 12546 : 82

Робимо ділення першого етапу. Множник (1) записуємо як вищий розряд частки. Обчислюємо різницю діленого і твори першого етапу поділу (125-82=43) і додаємо до неї праворуч один розряд з діленого, який стоїть після найменшого розряду числа, взятого для першого етапу розподілу. Отримане число (434) служить діленим другого етапу поділу.

Ділене другого етапу ділимо на дільник (434:82), визначаємо наступний розряд у приватному (5) і залишок після другого етапу поділу (24). Дописуємо до залишку наступний розряд діленого і виконуємо третій етап ділення (246:82). Визначаємо третє число у частці (3) і залишок (0).

Поділ закінчено після третього етапу, отже, у частці - трьохрозрядне число (153).

Простіше такий поділ робити в стовпчик також у три етапи (ділення кутом - це теж поетапне ділення):

_12546│82

  82  │153

  434

  410

   246

   246

     0

Ділене кратне 82, так як розділилося без залишку.