См. также полную таблицу производных простых функций.

Производная дроби 1/x

Формулы нахождения производной дроби как для частного случая, так и универсальную, можно посмотреть внизу страницы. Далее, же следует подробное описание вывода этих формул с подробным пояснением, почему именно так.

Для начала, преобразуем выражение для нахождения производной. Как известно, дробь вида 1/х можно представить как х^-1.

Таким образом, заменив исходное выражение на тождественное, задачу нахождения производной дроби вида 1/х можно представить как:
(1/x)' = (x ^-1)' 

Тогда для нахождения производной дроби можно применить правило нахождения производной степенной функции, откуда:
(x ^-1)' = -1x^-2  = - 1 / х²  

Таким образом, производная дроби 1/х равна:

(1/х)' = - 1 / x²  

На основании только что показанного принципа преобразования исходного выражения, можно вывести и более универсальную формулу:

Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе  

( 1 / x^с )' = - c / x^с+1  

Пример нахождения производной дроби:  
( 1 / x²  )' = - 2 / x³ .

(впереди ставим минус, показатель степени переменной поднимаем в числитель дроби, а степень переменной в знаменателе увеличиваем на единичку. Немного "ненаучно", но подходит для быстрого запоминания)

Формулы нахождения производной дроби: