Список предметов
Производная корня
56 / 63
Развернуть структуру обучения Свернуть структуру обучения

См. также: 

таблица производных простых функций

таблица производных логарифмических функций

таблица производных тригонометрических функций

Производная корня. Формулы для нахождения производной корня

Формула нахождения производной квадратного корня, кубического корня и корня произвольной степени

  1. Общий случай формулы производной корня произвольной степени - дробь, в числителе которой единица, а в знаменателе число, равное степени корня, для которого вычислялась производная, умноженная на корень такой же степени, подкоренное выражение которого - переменная в степени корня, для которого вычислялась производная, уменьшенной на единицу
  2. Производная квадратного корня - является частным случаем предыдущей формулы. Производная квадратного корня из x - это дробь, числитель которого равен единице, а знаменатель - двойка, умноженная на квадратный корень х
  3. Производная кубического корня, также частный случай общей формулы. Производная кубического корня - это единица, деленная на три кубических корня из икс квадрат.
Ниже приведены преобразования, поясняющие, почему формулы нахождения производной квадратного и кубического корня именно такие, как приведены на рисунке. 

Разумеется, данные формулы можно вообще не запоминать, если принять во внимание, что извлечение корня производной степени - это то же самое, что возведение в степень дроби, знаменатель которой равен той же степени. Тогда нахождение производной корня сводится к применению формулы нахождения производной степени соответствующей дроби.

Производная переменной под квадратным корнем

( √x )' = 1 / ( 2√x )   или 1/2 х-1/2  
 
Пояснение:
( √x )' = ( х1/2 )'   
Квадратный корень - это точно то же самое действие, что и возведение в степень 1/2, значит для нахождения производной корня можно применить формулу из правила нахождения производной от переменной в произвольной степени:
( х1/2 )' = 1/2 х-1/2 = 1 / (2√х)  

Производная кубического корня  (производная корня третьей степени)

Производная кубического корня находится точно по такому же принципу, что и квадратного.
Представим себе кубический корень как степень 1/3 и найдем производную по общим правилам дифференцирования. Краткую формулу можно посмотреть на картинке выше, а ниже расписано пояснение, почему именно так.
Нахождение производной кубического корня представлением через степенную функцию
Степень -2/3 получается в следствие вычитания единицы из 1/3

Производная переменной под корнем произвольной степени 

Данная формула пригодна для нахождения производной корня любой степени:
n√x )' = 1 / ( n n√xn-1 ) 
В более удобном для глаза виде она представлена на картинке выше.
Здесь:
n - степень корня, для которой находится производная
x - переменная, для которой находится производная
2080.1947  


 Производная дроби | Описание курса | Нахождение экстремума функции 
   

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!




Нажмите, чтобы рекомендовать эту страницу другим:
Рейтинг@Mail.ru