Примечание. Текст этой задачи по экономике взят с форума.

Задача.
Совокупные издержки фирмы, действующей на конкурентном рынке, равны:
ТС = 15q² + 10q + 16
 где q – объем продаж, тыс. шт. Издержки и цены измеряются в рублях. Какое количество товара в долгосрочном периоде будет производить фирма, максимизируя прибыль?

Комментарий.
Данная задача не имеет никакого отношения ни к экономике предприятия, ни к макроэкономике. На самом деле, это задача для старших классов средней школы на нахождение экстремума для функции. 

Тем не менее, стоит заметить, что максимизация прибыли зависит не только от уровня издержек, а и от колебания уровня рыночных цен при разном объеме предложения. См. Задачу на тему "Спрос и предложение". Поэтому оговорку "действующей на конкурентном рынке" интерпретируем как "обладающую несущественной долей рынка". В противном случае задача нерешаема.

Решение данной задачи приведено как типовое для решения задач подобного типа. Поэтому оно несколько избыточно, по сравнению с реальными целями задачи. Для решения "своей" задачи подставьте значения из условия своей задачи и выберите ту его часть, которая Вам необходима.

Решение.
  Поскольку, по условиям данной "задачи по экономике", единственным рычагом воздействия на прибыль является управление уровнем издержек предприятия, заметим, что уровень издержек выражен стандартной квадратичной функцией. Таким образом, минимальные издержки будут находиться в точке экстремума данной функции.  

Принцип нахождения точки экстремума нам известен из курса математики средней школы, поэтому о применении каких-либо "особых" экономико-математических методов речь не идет. Достаточно всего лишь найти дифферециал функции:
f(x) =  15q² + 10q + 16

Формулы для нахождения дифференциала найдем по таблице производных. Откуда

f'(x) = 30q + 10

Приравняв значение функции к нулю, находим точку экстремума, которая и будет равна точке минимальных экономических издержек при производстве данного вида товара.

30q + 10 = 0
 q = -1/3  

Поскольку экономика, в отличие от математики, оперирует дискретными величинами, заметим, что экономическая интерпретация полученного решения следующая. Поскольку экстремум функции находится за пределами множества натуральных чисел, то рост производства товара приводит к экспоненциальному росту издержек. Поэтому в долгосрочной перспективе производство данного товара будет выгодно лишь в той мере и в тех объемах, в которых цена реализации будет выше, чем издержки на его производство. Рост объема производства - не целесообразен.

Примечание. Говоря о дискретности, я имею ввиду, что невозможно произвести ни отрицательное количество товара, ни, например, 1/3 штуки товара.

С целью исследования оптимальной себестоимости единицы продукции (а не совокупных издержек) мы должны проверить, как изменяется себестоимость произведенной продукции. Поскольку величина издержек задана функцией, то разделив издержки на количество произведенного товара, мы определим себестоимость единицы продукции.

S = f(x) / q
S = (  15q² + 10q + 16 ) / q
S = 15q + 10 + 16/q 

С функцией себестоимости проделываем ту же самую операцию, что и с кривой совокупных издержек на производство. Производную функции снова находим по таблице производных.

S' = 15 - 16 / q²

Приравняем значение функции к нулю для нахождения экстремума.

15 - 16 / q² = 0
16 / q² = 15 
q² = 16 / 15
q = 4 / √15
то есть q = 1 (см. примечание )

Примечание.  Мы имеем дело с экономическими величинами, которые являются дискретными, а в случае нашей "задачи" еще и натуральными целыми положительными числами. Поэтому при решении мы сразу отбросили второе решение данного уравнения (  - 4 / √15 ). Опять же, невозможно произвести 1,03279555899 штуки изделия. Таким образом, минимальная себестоимость единицы продукции будет достигаться при производственном плане, равном 1.

Экономическая интерпретация полученного значения экстремума функции себестоимости единицы продукции следующая. Минимальные издержки производства в расчете на единицу продукции достигаются при производственном плане, равном единице. Изменение данного плана приведет к росту себестоимости производства в расчете на единицу продукции. Тем не менее, необходимо учитывать имеющийся уровень цен на продукцию с целью максимизации валовой прибыли предприятия.