Примечание. Текст задачи взят с форума

Задача максимизации прибыли и продаж

Местный музей посещают студенты и пенсионеры.
Спрос студентов на услуги описывается уравнением  P = 60 - q₁ / 20, спрос пенсионеров P = 50 - q₂ / 20.
Одновременно в музее могут находиться 200 человек.
Какую стоимость билетов для студентов и пенсионеров необходимо назначить музею, чтобы обеспечить полную посещаемость
и получить максимальную прибыль?

1. Корректность постановки задачи.
   • В реальной экономике такие линейные модели спроса встречаются редко, но в рамках алгебры задача сведена к нахождению экстремума функции.
   • В задаче не учитываются расходы музея, поэтому корректнее говорить о максимизации выручки, а не прибыли.
2. Полная заполняемость vs. максимальная выручка.
   • Если оба билета бесплатны (P = 0), в музей придут 110 человек, что не достигает лимита в 200 мест. Поэтому задача максимальной заполняемости не рассматривается, а только поиск цен, обеспечивающих максимальную выручку.

Обозначим выручку от студентов как функцию от количества проданных билетов:

V₁ = ( 60 −q₁ / 20 )⋅q^₁

Раскроем скобки:

V₁ = 60q₁ − q₁² / 20

Как нам известно из курса алгебры, максимальное значение функции будет достигаться в точке экстремума.
Чтобы найти экстремум функции, находим ее производную:

V₁′= 60 − 0.1q₁

Приравниваем производную к нулю, чтобы найти экстремум:

60 − 0.1q₁ = 0
q₁ = 600

Подставляем найденное значение цены в уравнение спроса, чтобы найти количество билетов, которые будут проданы для студентов:

P₁ = 60 − 600 / 20 = 30

Таким образом, оптимальная цена билета для студентов — 600 денежных единиц, а посещаемость — 30 человек.

Аналогично, найдем выручку от пенсионеров:

V₂ = ( 50 − q₂ / 20 )⋅q₂

Раскроем скобки:

V₂ = 50q₂ −q₂² / 20

Максимальное значение функции будет достигаться в точке экстремума.
Чтобы найти экстремум функции, находим ее производную:

V₂′ = 50 − 0.1q₂

Приравниваем производную к нулю:

50 − 0.1q₂ = 0
q₂ = 500

Подставляем найденную цену в уравнение спроса, чтобы найти количество проданных билетов для пенсионеров:

P₂ = 50 − 500 / 20 = 25

Таким образом, оптимальная цена билета для пенсионеров — 500 денежных единиц, а посещаемость — 25 человек.

Общая выручка:

Выручка = ( 30 ⋅ 600 ) + (25 ⋅ 500 ) = 18 000 + 12 500 = 30 500

Таким образом, максимальная выручка достигается при ценах билетов 600 денежных единиц для студентов и 500 денежных единиц для пенсионеров,
а посещаемость составляет 55 человек.