Примечание. Текст задачи взят с форума

Задача.

Комментарий.

Первое. Господа студенты, это не задача по экономике, это задача - по алгебре! В экономике нет подобных линейных процессов. Иначе все цены на товары можно было бы легко просчитать математически. Подробнее об этом см. статью "Неоднозначная экономика".

Второе. Это не задача по экономике. Это задача - по алгебре. Решение ее сводится к нахождению экстремума функции спроса. 

Третье. Автор путает полную заполняемость и максимальный доход. А максимальный доход путает с максимальной прибылью! Максимальный доход, как будет видно из решения задачи, достигается всего лишь при посещаемости 55 человек в день (см.ниже). А вот расходы по содержанию музея нам не известны. Так как же мы можем посчитать прибыль?

Строго говоря, задачу вообще решить нельзя, если мы немного разбираемся в терминах. Но, чтобы "получить пятерку" перефразируем ее. Попытаемся выяснить, при какой цене можно получить максимальный доход и при какой цене можно обеспечить максимальную заполняемость.

Первоначально я думал, что для нахождения максимальной заполняемости, после вычисления экстремумов функции через дифференцирование, придется решать оптимизационную задачу чуть ли не по линейному программированию, но... Когда я посмотрел на сами функции, то... выяснилось, что при цене обоих видов билетов 0,00 максимально в музей придут... 110 человек!
Действительно,  P= 60-q1/20 при q1 = 0 P=60,  а для  P= 50-q2/20 при q2 = 0 P = 50. В сумме 110, то есть максимальная заполняемость невозможна! Поэтому ищем только оптимальную цену для максимизации дохода. 

P.S. Если Вы все же экономист, самое смешное Вас ждет в конце, когда мы получим абсолютно правильный (с точки зрения математики) ответ, но абсолютно несуразный с точки зрения здравого смысла.

Решение.

Сначала найдем цену билетов, при которой доход от посещений студентов будет максимальным.
Если функцию спроса  для студентов P = 60-q1/20 мы знаем, то объем продаж билетов будет равен  
V = ( 60-q1/20 ) q1

Пояснение. Функция спроса показывает количество билетов, которые могут быть проданы при данной цене. Нас же в данном случае интересует сумма продаж. Для того, чтобы определить сумму, нам необходимо найденное количество умножить на цену товара. То есть Сумма = Количество х Цена. Поэтому функция, показывающая объем продаж, должна иметь вид f(x) = q(p) * p , где p - цена предложения.

Для того, чтобы определить максимально возможный объем продаж билетов для студентов в музей, необходимо найти экстремум функции   V = ( 60-q1/20 ) q1, по методике, о которой нам хорошо известно из курса средней школы. Для этого найдем дифференциал функции  
f(x) =  ( 60-х/20 ) х , или
f(x) = 60x - 0,05x²  

По таблице производных легко находим результат:  
f(x)' = 60 - 0,1x  

Экстремум исходной функции будет в точке, в которой f(x) = 60 - 0,1x будет равна нулю. Поэтому, решаем элементарное уравнение
60 - 0,1x = 0
х = 600  

Аналогичные вычисления по поиску максимального объема продаж для пенсионеров приведут нас нахождению цены на билеты 
х = 500

Откуда можно определить посещаемость музея.
При цене в 600 гривен музей посетят 
P = 60-q1/20
P = 60 - 600 / 20 = 30 студентов

При цене билета в 500 гривен музей посетят
P = 50-q2/20
P = 60 - 500 / 20 = 25 пенсионеров

Едкое замечание. Неправда ли, немного парадоксальные цифры, которые автор задачи вряд ли ожидал? Особенно, если сравнить со средним размером стипендии и пенсии...

Таким образом, максимальная выручка составит 30 * 600 + 25 * 500 = 30 500 гривен