Примечание. Текст задачи взят с форума.

Задача.
Фирма-монополист производит продукцию при постоянных средних и предельных издержках: AC = MC = 10 руб. Функция рыночного спроса, с которой сталкивается монополист, представлена следующим образом:Q(P) = 110 - P где P – цена единицы продукции, Q – объем продаж. 
Какую цену назначит монополист и какой объем фирма произведет для максимизации прибыли?

Комментарий.
В отличие от задачи на максимизацию продаж, эта задача - "в два действия".

К сожалению, она представляет собой не задачу по экономике, а задачу по алгебре для школьников. Если вдуматься в условие и в полученные цифры (их физический смысл), то к реальности эти вычисления никакого отношения не имеют.

Решение.
Так как функция спроса  Q(P) = 110 - P, то функция объема продаж   Q(P) = ( 110 - P ) P, а функция прибыли N(P) =  ( 110 - P ) ( P - AC )

Пояснение. Функция спроса показывает количество товара, который может быть продан при данной цене. Поскольку необходимо найти сумму продаж, то полученное количество надо умножить на цену товара. То есть Сумма = Количество х Цена. Перейти от цены к прибыли (в условиях данной задачи, а не в реальной жизни, разумеется) можно вычитанием издержек. Таким образом, получаем Прибыль = Количество х Доход. Количество задано в условии задачи, а доход - это разность между ценой и издержками.

Для того, чтобы определить цену, при которой достигаются максимальная прибыль, необходимо найти экстремум функции   N(P) =  ( 110 - P ) ( P - AC ). См. аналогичную задачу на  нахождение максимальной выручки.

Для этого определим дифференциал полученной функции суммы прибыли от цены   
 f(x) = ( 110 - x ) ( x - 10), или 
 f(x) = 110x - x²  - 1100 + 10х
 f(x) = - x²  + 120x - 1100   

 По имеющейся таблице производных получим результат:  
  f '(x) = - 2x + 120  

 В точке максимальной прибыли функция достигнет своего экстремума. Экстремум  будет в точке, в которой f ' (x) = -2x + 120 будет равна нулю. Приравняем ее значение к нулю.  
-2x + 120 = 0
х = 60  

Теперь определим объем производства.
Q(P) = 110 - P
Q(P) =  50

Ответ: Максимальный объем прибыли будет достигнут при цене 60 рублей с объемом производства 50 единиц .