Список предметов
Паралелограм
26 / 54

Паралелограм - чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні, тобто лежать на паралельних прямих.


Приватними випадками паралелограм є прямокутник, квадрат і ромб.

Як виглядає паралелограм

Параллелограмм с проведенной высотой к одному из оснований и диагоналями  

На наведеному малюнку паралелограм позначений синіми лініями.

Елементи паралелограма, вказані на малюнку:
ABCD - паралелограм, у якого протилежні сторони попарно паралельні (AB паралельна CD, а BC паралельна AD)
BH – висота паралелограма, опущена з точки B на основу AD (на малюнку позначена червоним кольором)
AC та BD - діагоналі паралелограма.

Властивості паралелограма

  • Протилежні сторони паралелограма рівні
  • Протилежні кути паралелограма рівні
  • Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. Точка перетину діагоналей називається центром симетрії паралелограма
  • Діагональ ділить паралелограм на два рівні трикутники
  • Сума кутів, що прилягають до одного боку, дорівнює 180 °. (Див. формулу нижче)
  • Сума всіх кутів дорівнює 360 °
  • Середні лінії паралелограма перетинаються в точці перетину його діагоналей і діляться цією точкою навпіл
  • Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєній сумі квадратів його сторін (див. формулу нижче)

Параллелограмм, с обозначенными длинами сторон a и b, а также углами альфа и бета, а также диагоналями d1 и d2
Основные тождества параллелограмма. Сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов смежных сторон. Сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180 градусам

Ознаки паралелограма

Чотирикутник ABCD є паралелограмом, якщо виконується одна з наступних умов:
  • Протилежні сторони попарно рівні
  • Протилежні сторони попарно паралельні та рівні
  • Протилежні кути попарно рівні
  • Діагоналі діляться в точці їхнього перетину навпіл
  • Сума сусідніх кутів дорівнює 180 градусів
  • Дві сторони рівні та паралельні

Як знайти площу паралелограма

Параллелограмм, с отмеченными на чертеже основаниями a и b, диагоналями d1 и d2, а также высотой h, проведенной к основанию a
Формули знаходження площі паралелограма наведені нижче:

 Формулы нахождения площади параллелограмма через стороны, углы, высоту и диагонали и углы между ними
Тобто:
  1. Площа паралелограма дорівнює добутку довжини однієї з його сторін на висоту, опущену на цей бік
  2. Площа паралелограма дорівнює добутку двох його суміжних сторін на синус кута між ними. Як видно з креслення, добуток b sin α дорівнює висоті, опущеній на інший бік, що в результаті дає нам попередню формулу
  3. Площа паралелограма дорівнює добутку двох його суміжних сторін на синус кута між ними
  4. Площа паралелограма дорівнює половині твору його діагоналей на синус кута між ними
  5. Площу паралелограма також можна знайти через формулу Герона, розглянувши одну з діагоналей як трикутник і обчисливши подвоєну площу цього трикутника
  6. Для знаходження напівпериметра трикутника з попередньої формули ми використовуємо дві сторони паралелограма та його діагональ. Оскільки кожна діагональ розбиває його на два рівні трикутники, то не має значення, яку з діагоналей ми виберемо

Як знайти сторони паралелограма

Параллелограмм с отмеченными высотами h опущенными на соответствующую сторону, отмеченными углами между сторонами и углом между диагоналями, обозначенными диагоналями d1 и d2
Формулы для нахождения сторон параллелограмма через его диагонали и углы, а также через площадь и высоту
Сторони паралелограма можна знайти через:
  • Розміри діагоналей та кут між ними (формули 1 та 2)
  • Через довжини діагоналей та одну зі сторін можна знайти другу (формули 3 та 4)
  • Через висоту, опущену на бік та кут між сторонами (формули 5 та 6)
  • Через площу та висоту, опущену на задану сторону, можна знайти величину цієї сторони (Формули 7 та 8)

Як знайти діагоналі паралелограма

Параллелограмм с отмеченными высотами h опущенными на соответствующую сторону, отмеченными углами между сторонами и углом между диагоналями, обозначенными диагоналями d1 и d2
Формулы нахождения диагоналей параллелограмма через известные значения длин его сторон, углов, площади или других сторон
  • Діагональ паралелограма можна знайти через довжини його сторін та косинус кута між ними (Формули 1-4)
  • Також діагональ може бути знайдена через довжини сторін та розмір другої діагоналі (Формули 5-6)
  • Діагональ може бути знайдена з площі, довжини другої діагоналями та кута між ними (Формули 7-8)

Як знайти периметр паралелограма


Параллелограмм с отмеченными высотами h опущенными на соответствующую сторону, отмеченными углами между сторонами и углом между диагоналями, обозначенными диагоналями d1 и d2
Формулы для нахождения периметра параллелограмма через его стороны, высоты, опущенными на эти стороны и угол между сторонами
Периметр паралелограма можна знайти:
через його сторони (Формула 1)
через одну зі сторін та довжину двох діагоналей (Формули 2 та 3)
через бік, висоту та кут між сторонами (Формули 4-6)
Завдання з рішеннями про паралелограм дивіться на уроках нижче

Содержание главы:


 Діагоналі трапеції | Описание курса | Висота паралелограма