Площа геометричної фігури

Що таке площа

Площа геометричної фігури - це невід'ємна чисельна величина, яка характеризує розмір цієї фігури.

Спочатку, геометрія в Стародавній Греції (по-грецьки "землемерие") займалася вимірюванням площ і обсягів. Значне число завдань в області елементарної геометрії присвячено саме таким питанням.

Загальним методом знаходження площ фігур в координатної площини є інтегральне числення. Цими питаннями займається математичний аналіз.
Для розуміння застосування універсального методу математичного аналізу для визначення площі фігур можна навести такі приклади обчислення площі:

Площа фігури, укладена між графіком неперервної функції на інтервалі [a, b] і віссю абсцис, дорівнює визначеному інтегралу цієї функції на тому ж інтервалі
Площа фігури, укладена між графіками двох безперервних функцій на інтервалі [a, b] дорівнює різниці визначених інтегралів цих функцій на цьому інтервалі

Площадь фигуры, заключенная между графиком непрерывной функции на интервале [a,b] и осью абсцисс, равна определенному интегралу этой функции на том же интервалеПлощадь фигуры, заключенная между графиками двух непрерывных функций на интервале [a,b] равна разности определенных интегралов этих функций на этом интервале

Або, за допомогою формул це буде виглядати наступним чином:
Формула нахождения площади фигуры на интервале [a,b] для функции f(x) и площади фигуры, заключенной между графиками двух непрерывных функций на этом интервале

Формула нахождения площади фигуры на интервале [a,b] для функции f(x) и площади фигуры, заключенной между графиками двух непрерывных функций на этом интервале

Як видно з малюнка і з формул, площа фігури, укладеної між графіком неперервної функції f (x) і віссю координат x на інтервалі [a, b] дорівнює визначеному інтегралу цієї функції [1].
Якщо ж нам необхідно знайти площу фігури, укладеної між графіками двох безперервних функцій - ми просто знаходимо визначений інтеграл для обох функцій і віднімаємо площу однієї фігури з площі інший. Різниця площ і дасть нам шукану величину.

За допомогою інтегрального числення також визначаються площі поверхонь фігур і в полярних координатах (фігура, укладена між двома променями) і в тривимірному просторі.

Властивості площі фігур

Площа фігури - це невід'ємна величина, числове значення якої має такі властивості:

Площа фігури є невід'ємною величиною
Рівні фігури мають рівні площі
Площа фігури дорівнює сумі її складових частин, які не перекриваються (властивість адитивності).
Площа квадрата зі стороною, що дорівнює одиниці виміру, дорівнює одиниці (властивість нормируваности)
Площа фігури завжди більша за площу її частини (властивість монотонності)