Рівнобедрений трикутник

Визначення поняття рівнобедреного трикутника

Рівнобедрений трикутник — це трикутник, в якому довжини двох його сторін є рівними між собою. 

Примітка. З визначення рівнобедреного трикутника випливає, що правильний трикутник також є рівнобедреним. Однак, необхідно пам'ятати, що зворотне твердження - невірно.

Властивості рівнобедреного трикутника

Властивості, наведені нижче, які використовуються при вирішенні завдань. Оскільки вони широко відомі, то мається на увазі, що вони не потребують пояснень. Тому в текстах завдань посилання на них вiдсутнi. 

• Кути, противолежащие рівним сторонах рівнобедреного трикутника рівні між собою.
• Бісектриси, медіани і висоти, проведені з кутів, що протилежать рівним сторонам трикутника, рівні між собою.
• Бісектриса, медіана і висота, проведені до основи, збігаються між собою. 
• Центри вписаного й описаного кіл лежать на висоті, бісектрисі і медіані (вони співпадають) проведених до основи.
• Кути, противолежащие рівним сторонах рівнобедреного трикутника, завжди гострі.

Формули знаходження сторiн рівнобедреного трикутника

Сторони в трикутник можуть бути обчислені за допомогою формул, що виражають їх довжину через інші сторони і кути, величина яких відома.

Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює частці від ділення основи на подвійний косинус кута при основі (Формула 1). Дана тотожність може бути отримана шляхом нескладних перетворень з теореми косинусів.

Основа рівнобедреного трикутника дорівнює добутку збоку на квадратний корінь з подвоєною різниці одиниці і косинуса кута при вершині (Формула 2)

Основа рівнобедреного трикутника дорівнює подвоєному добутку збоку на синус половини кута при вершині. (Формула 3)

Основа рівнобедреного трикутника дорівнює подвоєному добутку збоку на косинус кута при його основі (Формула 4).

Радіус вписаного кола в рівнобедрений трикутник

 
Позначення в формулах, можна подивитися на малюнку вище.

Радіус вписаного кола для рівнобедреного трикутника можна знайти, виходячи з величин основи і кожного боку. (Формула 1)

Радіус вписаного кола для рівнобедреного трикутника можна визначити, виходячи з величин основи і висоти, проведеної до основи (Формула 2)

Радіус вписаного в трикутник кола можна також обчислити через довжину бічної сторони і висоту, проведену до основи трикутника (Формула 3)

Знання величини кута між бічними сторонами і довжини основи також дозволяє визначити радіус вписаного кола (Формула 4)

Аналогічна формула (5) дозволяє визначити радіус вписаного кола через бічні сторони і кут між ними

Ознаки рiвнобедреного трикутника

Трикутник, у якого присутні перераховані нижче ознаки, є рівнобедреним. 

• Два кути трикутника дорівнюють один одному
• Висота співпадає з медіаною
• Висота співпадає з бісектрисою
• Бісектриса співпадає з медіаною
• Два висоти рівні мiж собою
• Дві медіани рівні мiж собою
• Дві бісектриси рівні мiж собою

Площа рiвнобедреного трикутника

Площа рівнобедреного трикутника знаходиться за наступними формулами:

,
де
a - довжина однієї з двох рівних сторін трикутника 
b - довжина основи 
α - величина одного з двох рівних кутів при основі 

β - величина кута між рівними сторонами трикутника і протилежного його основи.

Див. також "Площа трикутника".