Теорема про суму кутів опуклого многокутника

Для опуклого n-кутника сума кутів дорівнює 180°(n-2).

Доказ

Для доведення теореми про суму кутів опуклого многокутника скористаємося вже доведеною теоремою про те,
що сума кутів трикутника дорівнює 180 градусам.

Нехай A₁A₂...Aₙ — даний опуклий многокутник, і n > 3. Проведемо всі діагоналі многокутника з вершини A₁.
Вони розбивають його на n - 2 трикутника: ΔA₁A₂A₃, ΔA₁A₃A₄, ..., ΔA₁Aₙ₋₁Aₙ. Сума кутів многокутника збігається з сумою кутів усіх цих трикутників.
Сума кутів кожного трикутника дорівнює 180°, а кількість трикутників — (n - 2). Тому сума кутів опуклого n-кутника A₁A₂...Aₙ дорівнює 180°(n - 2).

Задача. Скількі кутів в опуклому многокутнику?

В опуклому многокутнику три кути по 80 градусів, а решта — 150 градусів. Скільки кутів в опуклому многокутнику?

Рішення

Для розв'язання цієї задачі скористаємося теоремою про суму кутів опуклого многокутника.

Теорема говорить: для опуклого n-кутника сума кутів дорівнює 180°(n-2).

Отже, для нашого випадку:

180(n-2)=3*80+x150,

де 3 кути по 80 градусів дані за умовою задачі, а кількість решти кутів поки що невідома, тому позначимо їх кількість як x.

Однак, з запису в лівій частині ми визначили кількість кутів многокутника як n, оскільки з них величини трьох кутів ми знаємо за умовою задачі,
то очевидно, що x=n-3.

Таким чином, рівняння виглядатиме так:

180(n-2)=240+150(n-3)

Розв'язуємо отримане рівняння:

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

30n = 150

n=5

Відповідь: 5 вершин

Задача. Кількість вершин многокутника

Яка кількість вершин може мати многокутник, якщо величина кожного з кутів менша за 120 градусів?

Рішення

Для розв'язання цієї задачі скористаємося теоремою про суму кутів опуклого многокутника.

Теорема говорить: для опуклого n-кутника сума всіх кутів дорівнює 180°(n-2).

Отже, для нашого випадку необхідно спочатку оцінити граничні умови задачі. Тобто зробити припущення, що кожен з кутів дорівнює 120 градусам.
Отримуємо:

180(n-2)=120n

180n - 360 = 120n

180n - 120n = 360

60n = 360

n=6

Виходячи з отриманого рівняння, робимо висновок: при величині кутів менше за 120 градусів, кількість кутів многокутника менше шести.

Пояснення:

Виходячи з виразу 180n - 120n = 360, за умови, що від'ємник у правій частині буде менше за 120n, різниця повинна бути більше за 60n.
Таким чином, частка від ділення завжди буде менша за шість.

Відповідь: кількість вершин многокутника буде менше шести.

Задача. Знайти кількість вершин многокутника

В многокутнику три кути по 113 градусів, а решта рівні між собою і їх градусна міра — ціле число. Знайти кількість вершин многокутника.

Рішення

Для розв'язання цієї задачі скористаємося теоремою про суму зовнішніх кутів опуклого многокутника.

Теорема говорить: для опуклого n-кутника сума всіх зовнішніх кутів дорівнює 360°.

Таким чином,

3*(180-113)+(n-3)x=360,

де права частина виразу — сума зовнішніх кутів, у лівій частині сума трьох кутів відома за умовою, а градусна міра решти (їх кількість,
відповідно n-3, так як три кути відомі) позначена як x.

201+(n-3)x=360

(n-3)x=159

159 розкладається тільки на два множники 53 і 3, при чому 53 — просте число. Тобто інших пар множників не існує.

Таким чином, n-3 = 3, n=6, тобто кількість кутів многокутника — шість.

Відповідь: шість кутів

Задача. Кількість гострих кутів многокутника

Доведіть, що у опуклого многокутника може бути не більше трьох гострих кутів.

Рішення

Як відомо, сума зовнішніх кутів опуклого многокутника дорівнює 360°. Проведемо доказ від супротивного. Якщо у опуклого многокутника не менше
чотирьох гострих внутрішніх кутів, отже серед його зовнішніх кутів не менше чотирьох тупих, звідки випливає, що сума всіх зовнішніх кутів
многокутника більше 4*90° = 360°. Маємо протиріччя. 

Твердження доведено.