Задача 1

Умова: Луч KM перетинає паралельні площини α і β в точках M₁ і М₂, а луч КР - в точках Р₁ і Р₂ відповідно.
Обчисліть довжину відрізка М₁М₂, якщо:

• КМ₁ = 8 см
• М₁Р₁ : М₂Р₂ = 4 : 9

Рішення: Зробивши геометричні побудови згідно з умовою задачі, побачимо, що у нас утворилися трикутники KM₁P₁ і KM₂P₂. У них спільний кут K,
а оскільки площини α і β паралельні, то прямі М₁Р₁ і М₂Р₂, що лежать на цих площинах, також паралельні. Оскільки паралельні прямі, що перетинають
третю, утворюють з нею рівні кути, то трикутники KM₁P₁ і KM₂P₂ подібні за трьома кутами, тобто мають рівні кути.

Оскільки трикутники KM₁P₁ і KM₂P₂ подібні, то:

Позначимо KМ₂ як x. Таким чином:

Відповідь: 18 см

Задача 2

Умова: Через точку О, що лежить між паралельними площинами α і β, проведені прямі l і m. Пряма l перетинає площини α і β в точках А1 і А2 відповідно,
 пряма m - в точках В₁ і В₂. Знайти довжину відрізка А2В2, якщо А₁В₁ = 12 см, В₁О:ОВ₂ = 3:4.

Рішення: 
Через прямі А₁А₂ і В₁В₂ можна провести площину, яка перетне паралельні площини по паралельних прямих А₁В₁ і А₂В₂.
У утворених трикутників ОА₁В₁ і ОА₂В₂ відповідні кути рівні. Кути при вершині О рівні як вертикальні, а інші - як внутрішні навхрест лежачі
у паралельних прямих. Отже, трикутники ОА₁В₁ і ОА₂В₂ подібні.

У подібних трикутників відповідні сторони відносяться через коефіцієнт подібності.

Звідки:

Отже:

Відповідь: 16 см