Примітка. См. також таблицю значень тригонометричних функцій для популярних кутів.

Синус 30, косинус 30, тангенс 30 градусів - таблиця значень

значення кута α  (градусів)	значення кута α  в радіанах  (через число пі)	sin  (синус)	cos  (косинус)	tg   (тангенс)	ctg   (котангенс)	sec   (секанс)	cosec   (косеканс)
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2

Як були розраховані значення синуса, косинуса і тангенса 30 градусів?

Далі приведено покрокове пояснення логіки розрахунку значень даних для кута тридцять градусів. Для цього проводиться побудова довільного прямокутного трикутника з відповідними кутами та обчислюється значення синусу, косинусу та тангенса 30 градусів.

Значення тригонометричних функцій синуса, косинуса, тангенса при α=30°

Розглянемо рiвнобiчний трикутник АВС. Хай, кожна з його сторін буде рівна а. Згідно з властивостями рівностороннього трикутника, всі його кути рівні, у тому числі кут ∠В=60°. 

Значення синуса, косинуса і тангенса ми можемо обчислити, якщо знайдемо співвідношення відповідних сторін для кута 30 градусів в прямокутному трикутнику. Оскільки значення цих тригонометричних функцій залежить виключно від градусної міри кута, то обчислені нами співвідношення і будуть значеннями синуса 30, косинуса 30 і тангенса 30 градусів. 

Спочатку зробимо додаткові побудови. З вершини А на сторону BC проведемо медіану АO.

Медіана АО у рівносторонньому трикутнику одночасно є бісектрисою і висотою.

Тоді тикутник АОВ - прямокутний з кутом ∠ВАО=30°. (Кут В дорівнює 60 градусам ∠ВOA прямій і дорівнює 90 градусам, отже ∠ВАО = 180 - 90 - 60 = 30 градусів)

Для отриманого прямокутного трикутника обчислимо значення тригонометричних функцій його кутів. Зробимо це спочатку для кута 30 градусів.

Величина гіпотенузи нам відома і рівна а. Катет OB рівний a/2, оскільки АO - медіана трикутника ABC. Знайдемо катет АТ.

По теоремі Піфагора:

АВ²=АО²+ОВ²;

АО²=АВ²-ОВ²

підставимо в одержане рівняння значення гiпотенузи (нами прийнято, що воно равно а)

АО²=a²- (а/2)²

АО²=3a²/4  

AO=√( 3a²/4 ) =a√3/2

Тепер ми обчислили всі сторони прямокутного трикутника ABO. Враховуючи, що AB = a, OB = a/2, AO = a√3/2, iз спiввiдношень сторiн прямокутного трикутника розрахуємо одержанi значення. Згiдно визначенню сiнуса, косiнуса та тангенса:

sin 30 = OB / AB (за визначенням синуса - відношення катета, що протилежить, до гіпотенузи)

cos 30 = AO / AB (за визначенням косинуса - відношення прилеглого катета до гіпотенузи)

tg 30 = OB / AO (за визначенням тангенса - відношення катета, що протилежить, до прилеглого)

Звiдки маємо:

Враховуючи, що трикутник ABC - рiвнобiчний, то BO равно AB/2, а значення AO розраховано вище. В результатi одержуємо табличнi значення sin 30, cos 30 и tg 30 градусiв

Табличні значення sin 30, cos 30 і tg 30 градусів:

 

Тобто:

Тангенс 30 градусів дорівнює кореню з трьох на три
Синус 30 градусів дорівнює одній другій або 0,5
Косинус 30 градусів дорівнює кореню з трьох на два

Синус, косинус і тангенс кута пі на 6 (π/6)

Виходячи з написаного вище принципу переведення радіан в градуси, кут пі на 6 дорівнюватиме 
180 / 6 = 30 градусів.  

Звідки: 

• Тангенс пі на 6 (π/6) дорівнює кореню з трьох на три 
• Синус пі на 6 (π/6) дорівнює однієї другої (1/2) або 0,5 
• Косинус пі на 6 (π/6) дорівнює кореню з трьох на два 

Для зручнішого візуального сприйняття ці значення приведені нижче на малюнку