Правильна піраміда - окремий випадок піраміди.

Правильна піраміда. Визначення

Визначення 1. Піраміда називається правильною, якщо її основою є правильний багатокутник, при цьому вершина такої піраміди проектується в центр її основи.

Визначення 2. Піраміда називається правильною, якщо її основа - правильний багатокутник, а висота проходить через центр основи.

Елементи правильної піраміди

• Апофема - це висота бічної Грані, проведена з ее вершини. На малюнку позначена як відрізок ON.
• Точка, что з'єднує бічні ребра и не лежить в площіні основи, назівається вершиною піраміди (О).
• Трикутники, что ма ють спільну сторону з основою и одну з вершин, что збігається з вершиною, назіваються бічнімі гранями (AOD, DOC, COB, AOB).
• Відрізок перпендикуляра, проведеного через вершину піраміди до площини ее основи назівається висота піраміди (ОК).
• Діагональній переріз піраміди - це переріз, что проходити через вершину и діагональ основи (AOC, BOD).
• Багатокутнік, якому НЕ Належить вершина піраміди, назівається основою піраміди (ABCD).

Якщо в основі правильної піраміди лежить трикутник, чотирикутник і т.д., то вона називається правильною трикутною, чотирикутною і т.д.

Трикутна піраміда є чотирьохграннік - тетраедр..

Властивості правильної піраміди

Для вирішення завдань необхідно знати властивості окремих елементів, які в умові зазвичай опускаються, так як вважається, що учень повинен це знати спочатку.

• бічні ребра рівні між собою;
• апофеми рівні;
• бічні грані рівні між собою (при цьому, відповідно, рівні їх площі, бічні сторони і основи), тобто вони є рівними трикутниками;
• всі бічні грані є рівними рівнобокими трикутниками; 
• в будь-яку правильну піраміду можна як вписати, так і описати біля неї сферу. 
• якщо центри вписаної і описаної сфери збігаються, то сума плоских кутів при вершині піраміди дорівнює π, а кожен з них відповідно π / n, де n - кількість сторін багатокутника основи; 
• площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині твору периметра основи на апофему; 
• близько основи правильної піраміди можна описати коло (див. також радіус описаного кола трикутника); 
• всі бічні грані утворюють з площиною основи правильної піраміди рівні кути; 
• всі висоти бічних граней рівні між собою

Вказівки до вирішення завдань. Властивості, перераховані вище, повинні допомогти в практичному вирішенні. Якщо потрібно знайти кути нахилу граней, їх поверхню і т. д., то загальна методика зводиться до розбиття всієї об'ємної фігури на окремі плоскі фігури і застосування їх властивостей для знаходження окремих елементів піраміди, оскільки багато елементів є загальними для декількох фігур.

Необхідно розбити всю об'ємну фігуру на окремі елементи - трикутники, квадрати, відрізки. Далі, до окремих елементів застосувати знання з курсу планіметрії, що істотно спрощує знаходження відповіді.

Формули для правильної піраміди

Формули для знаходження об'єму і площі бічної поверхні:

Позначення:

V - об'єм піраміди
S - площа основи
h - висота піраміди
Sb - площа бічної поверхні
a - апофема (не плутати з α)
P - периметр основи
n - число сторін основи
b - довжина бічного ребра
α - (альфа) плоский кут при вершині піраміди 

Дана формула знаходження об'єму може застосовуватися тільки для правильної піраміди: 

, 

де

V - об'єм правильної піраміди
h - висота правильної піраміди
n - число сторін правильного багатокутника, який є основою для правильної піраміди
a - довжина сторони правильного багатокутника 

Правильна усічена (зрізана) піраміда

Якщо провести розріз, паралельний основі піраміди, то тіло, укладене між цими площинами і бічною поверхнею, називається усіченою пірамідою. Це перетин для усіченої піраміди є однією з її основ. 

Висота бічної грані (яка є рівнобокою трапецією), називається - апофема правильної усіченої (зрізаної) піраміди.

Зрізана піраміда називається правильною, якщо піраміда, з якої вона була отримана - правильна.

• Відстань між основами усіченої піраміди називається висотою усіченої піраміди.

• Всі грані правильної усіченої (зрізаної) піраміди є рівнобокими трапеціями

Примітки

Див. Також: окремі випадки (формули) для правильної піраміди:

• Для правильної трикутної піраміди

Як скористатися наведеними тут теоретичними матеріалами для вирішення свого завдання: 

1. Ознайомтеся з довідковими матеріалами
2. З'ясуйте, за умовами задачі, про яку саме правильну піраміду йдеться
3. Після цього в дереві знань справа, знайдіть відповідний урок з даної фігурою (див. Рішення задач про правильну піраміду з трикутником в основi, з чотирикутником в основі). Якщо потрібного рішення не знайшлося, спробуйте ознайомитися зі змістом сусідніх уроків, можливо, рішення такого завдання є саме там
   
4. Якщо Ви переглянули весь розділ, але аналогічної завдання не знайшлося, напишіть про свою проблему на форумі "розділ для школярів" у відповідній темі. Обов'язково ознайомтеся попередньо з правилами форуму.