Прямокутний трикутник

Прямокутний трикутник - це трикутник, у якого один з кутів прямий, тобто дорівнює 90 градусам.

Сторона, протилежна прямому куту називається гіпотенузою (на малюнку позначено як c або AB)
Сторона, прилегла до прямого кута, називається катетом. Кожен прямокутний трикутник має два катета (на малюнку позначені як a і b або AC і BC)

Формули та властивості прямокутного трикутника

Формулы для прямоугольного треугольника - высота, радиус вписанной и описанной окружности, тригонометрические зависимости. Формули для прямокутного трикутника - висота, радіус вписаного і описаного кола, тригонометричні залежності.

Позначення формул:
(див. малюнок вище)

a, b - катети прямокутного трикутника

c - гіпотенуза

α, β - гострі кути трикутника
S - площа

h - висота, опущена з вершини прямого кута на гіпотенузу

m_a - медіана, проведена до сторони a з противолежащего кута (α)
m_b - медіана, проведена до сторони b з противолежащего кута (β)

m_c - медіана, проведена до сторони c з противолежащего кута (γ)

У прямокутному трикутнику будь-який з катетів менше гіпотенузи (Формули 1 і 2). Дана властивість є наслідком теореми Піфагора.

Косинус будь-якого з гострих кутів менше одиниці (Формули 3 і 4). Дана властивість випливає з попереднього. Так як будь-який з катетів менше гіпотенузи, то з співвідношення катета до гіпотенузі завжди менше одиниці.

Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів (теорема Піфагора). (Формула 5). Це властивість постійно використовується при вирішенні завдань.

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку катетів (Формула 6)

Сума квадратів медіан до катетiв, дорівнює п'яти квадратам медіани до гіпотенузі і п'яти квадратах гіпотенузи, ділених на чотири (Формула 7). Крім зазначених, є ще 5 формул, тому рекомендується ознайомитися також і з уроком "Медіана прямокутного трикутника", в якому більш детально викладені властивості медіани.

Висота прямокутного трикутника дорівнює добутку катетів, поділеному на гіпотенузу (Формула 8)

Квадрати катетів обернено пропорційні квадрату висоти, опущеної на гіпотенузу (Формула 9). Дана тотожність також є одним з наслідків теореми Піфагора.

Довжина гіпотенузи дорівнює діаметру (двом радіусам) описаного кола (Формула 10). Гіпотенуза прямокутного трикутника є діаметром описаної окружності. Це властивість часто використовується при вирішенні завдань.

Радіус вписаного в прямокутний трикутник кола можна знайти як половину від виразу, що включає в себе суму катетів трикутника мінус довжину гіпотенузи. Або як добуток катетів, поділений на суму всіх сторін (периметр) даного трикутника. (Формула 11)

Синус кута А (α, альфа) у прямокутному трикутнику дорівнює відношенню протилежного до даного кута катета до гіпотенузи (за визначенням синуса). (Формула 12). Дана властивість використовується при вирішенні завдань. Знаючи величини сторін, можна знайти кут, який вони утворюють.

Косинус кута А (α, альфа) у прямокутному трикутнику дорівнює відношенню прилеглого до даного кута катета до гіпотенузи (за визначенням синуса). (Формула 13)

См. також: Співвідношення між кутами і сторонами прямокутного трикутника вивчає Тригонометрія.

Площа рівнобедреного трикутника | Описание курса | Чотирикутник