Список предметов
Пояснение (доказательство) простейших тригонометрических тождеств
111 / 189
Развернуть структуру обучения Свернуть структуру обучения

Пояснение, как получаются тригонометрические тождества

Поясним, как выводятся тригонометрические тождества на примере очень простых формул:
Простейшие тригонометрические тождества и определения тригонометрических функций.Преобразования sin cos tg

На примере прямоугольного треугольника ABC выведем простейшие тригонометрические тождества и докажем их правильность.

Прямоугольный треугольник ABC с отмеченными на нем углами альфа и бета

Доказательство тождества sin α / cos α = tg α

Поясним, как частное от деления синуса на косинус альфа дает тангенс этого же угла (Формула номер 1)

Из определения синуса следует, что
sin α = BC / AB
Из определения косинуса следует, что
cos α = AC / AB

Разделим одно выражение на второе
sin α / cos α 
подставим вместо тригонометрических функций соотношение сторон, получим:
( BC / AB ) : (AC / AB)

При делении одной дроби на другую, подучим результат
sin α / cos α BC / AC

Из определения тангенса следует
tg α = BC / AC

Таким образом,
sin α / cos α = tg α
Тождество (1) доказано.

Краткое доказательство можно посмотреть на рисунке ниже:
Доказательство простейшего тригонометрического тождества, что частное от деления синуса угла на косинус того же угла дает тангенс этого угла.sin a / cos a = tg a

Тождества 2 и 3 доказываются абсолютно аналогичным способом.

Доказательство тождества sin2 α + cos2 α = 1

Теперь докажем тождество 4, что сумма квадрата синуса и косинуса одного и того же угла дает единицу.

Из определения синуса следует, что
sin α = BC / AB
Из определения косинуса следует, что
cos α = AC / AB

Возведем каждое выражение в квадрат и вычислим их сумму.
sin2 α + cos2 α = ( BC / AB )2  + ( AC / AB )2 

поскольку обе дроби имеют один и тот же знаменатель, то
BC2  / AB2 + AC2  / AB2  = ( BC2  + AC2  ) / AB2 

Снова посмотрим на рисунок выше.
BC2  + AC2  - это сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника. Согласно, теореме Пифагора
BC2  + AC2 = AB2 

Заменим числитель (BC2  + AC2) на тождественное выражение AB2  и получим:
AB2 / AB2 = 1

Таким образом, 
sin2 α + cos2 α = 1

Тождество (4) доказано

Краткое доказательство можно посмотреть на рисунке ниже
Доказательство тригонометрического тождества, что сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице
0  


 Тригонометрические тождества и преобразования | Описание курса | Преобразования тригонометрических функций вида (α + a/bπ) и доказательство 
   

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!




Нажмите, чтобы рекомендовать эту страницу другим:
Рейтинг@Mail.ru