Список предметов
Задачи на решение с помощью теоремы синусов
93 / 189
Развернуть структуру обучения Свернуть структуру обучения
Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел теорема синусов). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение.

Теорема синусов:
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, или, в расширенной формулировке:
Теорема синусов: Стороны треугольника (a,b,c) пропорциональны синусам противолежащих углов
где R - радиус описанной окружности

Теорию - формулировку и доказательство теоремы подробно см. в главе "Теорема синусов".

Задача. Найти сторону треугольника

В треугольнике XYZ угол Х=30 угол Z=15. Перпендикуляр YQ к ZY делит сторону ХZ на части XQ и QZ.
Найти XY, если QZ=1.5м

Произвольный треугольник с двумя острыми углами и высотой, опущенной из тупого угла на противоположную сторону

Решение.
Высота образовала два прямоугольных треугольника XYQ и ZYQ.
Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов.

В результате того, что на одну из сторон была опущена высота, у нас образовался прямоугольный треугольник
Для треугольника QYZ будет верным соотношение:  
QZ / sin δ = QY / sin z 

Поскольку прямоугольник QYZ прямоугольный, сумма углов любого треугольника равна 180 градусам, при этом
z = 15 градусов, то ∠δ = 180 - 90 - 15 = 75

Примем во внимание табличные значения некоторых тригонометрических функций:
  • синус 15 градусов равен sin( 15 ) = Синус 15 градусов, косинус 75 градусов
  • синус 75 градусов равен sin( 75 ) = Косинус 15 градусов, синус 75 градусов
Решение задачи с помощью теоремы синусов - шаг за шагом. Этап 1

Пояснение к решению на картинке выше.

Записываем формулировку теоремы синусов на примере выбранного треугольника
Первая строка:
QZ / sin( 75 ) = QY / sin( 15 )

Вторая строка:
подставим значения синуса углов 75 и 15 градусов из таблицы
QZ / ( ( √3 + 1 ) / ( 2√2 ) )  = QY / ( ( √3 - 1 ) / ( 2√2  ) )

Третья строка - упрощаем выражение
QZ * 2√2 / ( √3 + 1 ) = QY * 2√2 / ( √3 - 1 )

В четвертой строке сокращаем левую и правую часть на 2√2
QZ / ( √3 + 1 ) = QY /  ( √3 - 1 )

Пятая строка:
Учтем, что длина QZ нам известна и указана в условии задачи. Подставим ее в выражение
Теперь можно найти значение высоты QY
QY = 3/2 ( 3 - 1 ) / ( 3 + 1 )

Вторая часть решения.

Вторая часть решения задачи на использование теоремы синусов. Выделяем второй треугольник относительно построенный высоты

Поскольку длина высоты QY треугольника теперь известна, найдем величину XY с помощью теоремы синусов.

QY / sin( 30 ) = XY / sin( 90 )

Далее решаем аналогично первой части решения.

Примем во внимание табличные значения некоторых тригонометрических функций:
  • синус 30 градусов равен sin( 30 ) = 1 / 2
  • синус 90 градусов равен sin( 90 ) = 1
тогда

QY = XY sin ( 30 )
3/2 ( √3 - 1 ) / ( √3 + 1 ) = 1/2 XY
XY = 3 ( √3 - 1 ) / ( √3 + 1 ) ≈ 0.8 м

Ответ: 0,8 м  или  3 ( √3 - 1 ) / ( √3 + 1 )
0  


 Теорема синусов | Описание курса | Теорема синусов (часть 2) 
   

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!




Нажмите, чтобы рекомендовать эту страницу другим:
Рейтинг@Mail.ru