Синус 30, косинус 30, тангенс 30 градусов и синус 60, косинус 60, тангенс 60 градусов

Значения тригонометрических функций синуса, косинуса, тангенса при α=30°

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС. Пусть, каждая из его сторон будет равна a. Согласно свойствам равностороннего треугольника, все его углы равны, в том числе угол ∠В=60°.

Значения синуса, косинуса и тангенса мы можем вычислить, если найдем соотношение соответствующих сторон для угла 30 градусов в прямоугольном треугольнике. Так как значение этих тригонометрических функций зависит исключительно от градусной меры угла, то вычисленные нами соотношения и будут значениями синуса 30, косинуса 30 и тангенса 30 градусов. 

Сначала совершим дополнительные построения. Из вершины А на сторону BC проведем медиану AO.

Медиана АО в равностороннем треугольнике одновременно является биссектрисой и высотой.

Тогда треугольник АОВ – прямоугольный с углом ∠ВАО=30°. (Угол В равен 60 градусам, ∠ВOA прямой и равен 90 градусам, следовательно, ∠ВАО = 180 - 90 - 60 = 30 градусов)

Значення тригонометричних функцій синуса, косинуса, тангенса при α=30°

Розглянемо рiвнобiчний трикутник АВС. Хай, кожна з його сторін буде рівна а. Згідно з властивостями рівностороннього трикутника, всі його кути рівні, у тому числі кут ∠В=60°. 

Значення синуса, косинуса і тангенса ми можемо обчислити, якщо знайдемо співвідношення відповідних сторін для кута 30 градусів в прямокутному трикутнику. Оскільки значення цих тригонометричних функцій залежить виключно від градусної міри кута, то обчислені нами співвідношення і будуть значеннями синуса 30, косинуса 30 і тангенса 30 градусів. 

Спочатку зробимо додаткові побудови. З вершини А на сторону BC проведемо медіану АO.

Медіана АО у рівносторонньому трикутнику одночасно є бісектрисою і висотою.

Тоді тикутник АОВ - прямокутний з кутом ∠ВАО=30°. (Кут В дорівнює 60 градусам ∠ВOA прямій і дорівнює 90 градусам, отже ∠ВАО = 180 - 90 - 60 = 30 градусів)

Для полученного прямоугольного треугольника вычислим значения тригонометрических функций его углов. Сделаем это сначала для угла 30 градусов.

Величина гипотенузы нам известна и равна a. Катет OB равен a/2 , так как AO - медиана треугольника ABC. Найдем катет AO.

По теореме Пифагора:

АВ²=АО²+ОВ²;

АО²=АВ²-ОВ²

подставим в полученное выражение значение гипотенузы (мы приняли, что оно равно а)

АО²=a²- (а/2)²

АО²=3a²/4  

AO=√( 3a²/4 ) =a√3/2

Теперь мы вычислили все стороны прямоугольного треугольника ABO. Учитывая, что AB = a, OB = a/2, AO = a√3/2, из соотношений сторон прямоугольного треугольника рассчитаем полученные значения. Согласно определению синуса, косинуса и тангенса:

sin 30 = OB / AB (по определению синуса - отношение противолежащего катета к гипотенузе)

cos 30 = AO / AB (по определению косинуса - отношение прилежащего катета к гипотенузе)

tg 30 = OB / AO (по определению тангенса - отношение противолежащего катета к прилежащему)

Откуда:

Так как треугольник ABC - равносторонний, то BO равно AB/2, а значение AO вычислено выше. В результате получаем табличные значения sin 30, cos 30 и tg 30 градусов

Для отриманого прямокутного трикутника обчислимо значення тригонометричних функцій його кутів. Зробимо це спочатку для кута 30 градусів.

Величина гіпотенузи нам відома і рівна а. Катет OB рівний a/2, оскільки АO - медіана трикутника ABC. Знайдемо катет АТ.

По теоремі Піфагора:

АВ²=АО²+ОВ²;

АО²=АВ²-ОВ²

пiдставимо в одержане рiвняння значення гiпотенузи (намi прийнято, що воно равно а)

АО²=a²- (а/2)²

АО²=3a²/4  

AO=√( 3a²/4 ) =a√3/2

Тепер ми обчислили всі сторони прямокутного трикутника ABO. Враховуючи, що AB = a, OB = a/2, AO = a√3/2, iз спiввiдношень сторiн прямокутного трикутника розрахуємо одержанi значення. Згiдно визначенню сiнуса, косiнуса та тангенса:

sin 30 = OB / AB (за визначенням синуса - відношення катета, що протилежить, до гіпотенузи)

cos 30 = AO / AB (за визначенням косинуса - відношення прилеглого катета до гіпотенузи)

tg 30 = OB / AO (за визначенням тангенса - відношення катета, що протилежить, до прилеглого)

Звiдки маємо:

Враховуючи, що трикутник ABC - рiвнобiчний, то BO равно AB/2, а значення AO розраховано вище. В результатi одержуємо табличнi значення sin 30, cos 30 и tg 30 градусiв

Синус, косинус и тангенс угла пи на 3 (π/3)

Синус, косинус і тангенс кута пі на 3 (π/3)

• Тангенс π/3 (пі на три) радіан дорівнює кореню з трьох   
• Синус π/3 (пі на три) радіан дорівнює кореню з трьох на два   
• Косинус π/3 (пі на три) радіан рівний однієї другої (1/2) або 0,5

Синус, косинус и тангенс угла пи на 6 (π/6)

Синус, косинус і тангенс кута пі на 6 (π/6)