Прямые и плоскости в стереометрии

Стереометрия — это раздел геометрии, изучающий фигуры в трехмерном пространстве. Основными элементами стереометрии являются точки,
прямые и плоскости. Понимание их свойств и взаимного расположения — ключ к изучению сложных пространственных конструкций.

Прямая в пространстве

Прямая — это бесконечный однонаправленный объект, полностью определяемый двумя точками. В пространстве прямая может занимать различные
 положения относительно других прямых и плоскостей. Основные свойства и понятия:

Задание прямой: Прямая в пространстве задается:

• Двумя точками, принадлежащими ей.
• Уравнением прямой в параметрической или канонической форме.

Взаимное расположение прямых:

• Пересекающиеся: Прямые имеют одну общую точку.
• Параллельные: Прямые не пересекаются и находятся в одной плоскости.
• Скрещивающиеся: Прямые не пересекаются и не лежат в одной плоскости.

Плоскость в пространстве

Плоскость — это бесконечное двуосное множество точек. Она может быть определена несколькими способами:

• Тремя точками, не лежащими на одной прямой.
• Прямой и точкой, не принадлежащей этой прямой.
• Двумя пересекающимися или параллельными прямыми.

Уравнение плоскости: Плоскость в пространстве можно задать уравнением вида:

где A, B, C — коэффициенты, определяющие направление нормального вектора плоскости, а D — свободный член.

Взаимное расположение прямых и плоскостей

Взаимное расположение прямой и плоскости может быть следующим:

• Прямая лежит в плоскости: Все точки прямой принадлежат плоскости.
• Прямая пересекает плоскость: Прямая имеет одну общую точку с плоскостью.
• Прямая параллельна плоскости: Прямая не пересекает плоскость.

Для двух плоскостей возможны такие варианты:

• Пересекающиеся: Плоскости пересекаются по прямой.
• Параллельные: Плоскости не имеют общих точек.
• Совпадающие: Плоскости полностью накладываются друг на друга.

Углы в стереометрии

Стереометрия также изучает углы между:

• Прямыми: Угол между пересекающимися прямыми определяется как угол между их направляющими векторами.
• Прямой и плоскостью: Это угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость.
• Плоскостями: Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами.

Основные теоремы

• Аксиома плоскости: Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
• Теорема о параллельности: Если две прямые параллельны, то плоскость, проходящая через одну из них, будет параллельна другой.
• Теорема о пересечении: Если две плоскости пересекаются, их линия пересечения — это прямая.