Площадь геометрической фигуры

Что такое площадь

Площадь геометрической фигуры - это неотрицательная численная величина, которая характеризует размер этой фигуры.

Изначально, геометрия в Древней Греции (по-гречески "землемерие") занималась измерением площадей и объемов. Значительное число задач в области элементарной геометрии посвящено именно таким вопросам.

Общим методом нахождения площадей фигур в координатной плоскости является интегральное исчисление. Этими вопросами занимается математический анализ.
Для понимания применения универсального метода математического анализа для определения площади фигур можно привести следующие примеры вычисления площади:

Площадь фигуры, заключенная между графиком непрерывной функции на интервале [a,b] и осью абсцисс, равна определенному интегралу этой функции на том же интервале
Площадь фигуры, заключенная между графиками двух непрерывных функций на интервале [a,b] равна разности определенных интегралов этих функций на этом интервале

Площадь фигуры, заключенная между графиком непрерывной функции на интервале [a,b] и осью абсцисс, равна определенному интегралу этой функции на том же интервалеПлощадь фигуры, заключенная между графиками двух непрерывных функций на интервале [a,b] равна разности определенных интегралов этих функций на этом интервале

Или, с помощью формул это будет выглядеть следующим образом:
Формула нахождения площади фигуры на интервале [a,b] для функции f(x) и площади фигуры, заключенной между графиками двух непрерывных функций на этом интервале

Формула нахождения площади фигуры на интервале [a,b] для функции f(x) и площади фигуры, заключенной между графиками двух непрерывных функций на этом интервале

Как видно из рисунка и из формул, площадь фигуры, заключенной между графиком непрерывной функции f(x) и осью координат x на интервале [a,b] равна определенному интегралу этой функции [1].
Если же нам необходимо найти площадь фигуры, заключенной между графиками двух непрерывных функций - мы просто находим определенный интеграл для обоих функций и вычитаем площадь одной фигуры из площади другой. Разность площадей и даст нам искомую величину.

С помощью интегрального исчисления также определяются площади поверхностей фигур и в полярных координатах (фигура, заключенная между двумя лучами) и в трехмерном пространстве.

Свойства площади фигур

Площадь фигуры – это неотрицательная величина, числовое значение которой имеет следующие свойства:

Площадь фигуры является неотрицательной величиной
Равные фигуры имеют равные площади
Площадь фигуры равна сумме составляющих ее и не перекрывающих друг друга частей (свойство аддитивности).
Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице (свойство нормированности)
Площадь фигуры всегда больше площади ее части (свойство монотонности)