Список предметов
Преобразования тригонометрических функций вида (α + a/bπ) и доказательство
113 / 190

  Примечание. Для получения справочной информации см. также формулы преобразования тригонометрических функций.

Общий принцип преобразования функций вида α + a/bπ к более простому виду

Чтобы осуществить приведение угла тригонометрической функции, необходимо представить аргумент функции в виде:

Общий принцип преобразования функций вида α + a/bπ к более простому виду

После этого можно будет воспользоваться правилами и формулами, которые указаны ниже.

Правило 1. Если a=2, а z -  натуральное число, то название функции не меняется

Формулы приведения аргумента тригонометрической функции для угла 2pi для sin cos tg

Синус альфа плюс два пи будет равен синус альфа.
Косинус альфа плюс два пи будет равен косинус альфа.
Тангенс альфа плюс два пи будет равен тангенс альфа.
Котангенс альфа плюс два пи будет равен котангенс альфа.

Данные равенства следуют из свойств тригонометрического круга.

Пример. Приведем к более простому виду выражение cos 390. 

Примем во внимание, что π = 180 градусов, тогда
cos 390 = cos ( 30 + 2π )
Теперь воспользуемся формулой (2) приведения на рисунке выше
cos ( 30 + 2π) = cos 30

Правило 2. Вычитание из 2π угла α

Формулы приведения угла аргумента функции sin cos tan 2pi - a.

Синус два пи минус альфа будет равен минус синус альфа.
Косинус два пи минус альфа равен косинус альфа.
Тангенс два пи минус альфа равен минус тангенс альфа.
Котангенс два пи минус альфа равен минус котангенс альфа.

Данные свойства вытекают из свойств тригонометрического круга с учетом четности функций.

Пример. Приведем к более простому виду выражение sin 345.
Примем во внимание, что π = 180 градусов, тогда
sin 345 = sin ( 2π - 15 )
Теперь воспользуемся формулой (1) приведения на рисунке выше, тогда
sin ( 2π - 15 ) = - sin 15

Правило 3. Сложение угла с π/2

Если аргумент тригонометрической функции содержит выражение π/2 или n*π/2, где n - натуральное нечетное число, то функция
меняется по следующим правилам:

Формулы приведения аргумента тригонометрической функции вида a + pi/2 для sin cos tan ctg

Синус угла альфа плюс пи на два равен косинусу того же угла.
Косинус альфа плюс пи на два равен минус косинус альфа.
Тангенс альфа плюс пи на два равен минус котангенс альфа.
Котангенс альфа плюс пи на два равен минус тангенс альфа.

Из свойств тригонометрического круга следует, что:

Синус угла альфа плюс пи на два плюс два пи равен косинусу того же угла.
Косинус альфа плюс пи на два плюс два пи  равен минус косинус альфа.
Тангенс альфа плюс пи на два  плюс два пи равен минус котангенс альфа.
Котангенс альфа плюс пи на два  плюс два пи равен минус тангенс альфа.

Пример. Приведем к более простому виду выражение sin ( α + 5π/2 ).
sin ( α + 5π/2 ) = sin (α + π/2 + 2π*1)
sin (α + π/2 + 2π*1) = cos α

Правило 4. Формулы вычитания угла из π/2 (π/2 - α)

Если в аргументе тригонометрической функции есть вычитание угла из значения π/2, например cos( π/2 - α ),
тогда можно воспользоваться следующими формулами преобразования аргумента:

Формулы приведения тригонометрических функций, когда из угла pi/2 нужно вычесть угол a для sin cos tg ctg
Из свойств прямоугольного треугольника следует, что:
Синус угла пи на два минус альфа равен косинусу альфа.
Синус угла пи на два минус альфа равен синусу альфа.
Тангенс пи на два минус альфа равен конангенсу альфа.
Котангенс угла пи на два минус альфа равен тангенсу альфа.

Из свойств тригонометрического круга следует, что:

Синус угла пи на два минус альфа плюс два пи равен косинусу альфа.
Синус угла пи на два минус альфа плюс два пи равен синусу альфа.
Тангенс пи на два минус альфа плюс два пи равен конангенсу альфа.
Котангенс угла пи на два минус альфа плюс два пи равен тангенсу альфа.

Пример. Приведем к более простому виду выражение cos ( 5π/2 - α ).
cos ( 5π/2 - α ) = cos( π/2 - α + 2π * 1)
cos( π/2 - α + 2π * 1) = sin α

Правило 5. Тригонометрические формулы приведения угла α + π

Если аргумент тригонометрической функции можно представить как сумму углов вида α + π + 2πz, то такая функция может быть
приведена к более простому виду с помощью следующих формул:

Тригонометрические формулы приведения угла вида a + pi к более простому виду для sin cos tg ctg (a + pi)

Синус альфа плюс пи равен минус синус альфа.
Косинус альфа плюс пи равен минус косинус альфа.
Тангенс альфа плюс пи равен тангенс альфа.
Контангенс альфа плюс пи равен котангенс альфа.

также

Синус альфа плюс пи плюс два пи равен минус синус альфа.
Косинус альфа плюс пи плюс два пи равен минус косинус альфа.

Пример. Приведем к более простому виду выражение sin (7π + α)
sin (7π + α) = sin ( π + α + 2π * 3) 
sin ( π + α + 2π * 3) = - sin α

Правило 6. Тригонометрические формулы приведения для угла ( π - α )

Если в аргументе тригонометрической функции нужно вычесть угол из π, то есть упростить аргумент функции вида ( π - α ),
можно воспользоваться следующими формулами:

Формулы приведения аргумента функции пи минус альфа (pi - a) для sin cos tg ctg (pi - a)

Пример. Приведем к более простому виду выражение sin ( 5π - α ).
sin ( 5π - α ) = sin ( π - α + 2π * 2  )
sin ( π - α + 2π * 2  ) = sin α 

Правило 7. Тригонометрические формулы приведения функций для углов ( 3π / 2 + α )

Формулы приведения тригонометрических функций вида sin (a + 3pi/2), cos(a + 3pi/2), tg(a + 3pi/2) к более простому виду. Преобразование аргументов функций альфа плюс 3pi/2

Пример. Приведем выражение cos (α + 7π/2) к более простому виду.
cos (α + 7π/2) = cos (α + 3π/2 + 2π * 1)
cos (α + 3π/2 + 2π * 1) = sin α

Правило 8. Тригонометрические формулы приведения аргумента для случаев вычитания угла α из 3 π / 2

Формулы приведения тригонометрических функций с аргументом угла вида ( 3pi/2 - a) для sin ( 3pi/2 - a), cos ( 3pi/2 - a), tg( 3pi/2 - a), ctg( 3pi/2 - a)

Пример. Приведем выражение sin ( 7π/2 - α ) к более простому виду.
sin ( 7π/2 - α ) = sin( 3π/2 - α + 2π * 1)
sin( 3π/2 - α + 2π * 1)  = - cos α

Доказательство правильности формул преобразования тригонометрических функций вида (α + a/bπ)

ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА ОСТРЫХ УГЛОВ

Значения тригонометрических функций острых углов выводятся из соотношения сторон прямоугольного треугольника.

ТЕОРЕМА: Для любого острого угла α:

sin (90°- α)=cos α;

cos (90°- α)=sin α;

tg (90°- α)=ctg α.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с острым углом α. По теореме Пифагора:

АС2=АВ2+ВС2.

Определение синуса косинуса и тангенса для углов 90-а для прямоугольного треугольника


По определению тригонометрических функций:

sin α= АВ/АС и cos α= ВС/АС  (1)

Так как  ∠А + ∠С = 90°, то 
∠А = 90°- ∠С 
∠ А=90°-α,

sin (90°-α)=ВС/АС и cos (90°-α)=АВ/АС (2)

Сравним равенства (1) и (2) и запишем тождественные равенства:

sin (90°-α) = cos α; cos (90°-α) = sin α. (3)

Вычислим tg (90°- α), зная, что тангенс угла равен отношению синуса и косинуса того же угла и используя равенства (3):

tg (90°-α) = sin(90°-α) / cos(90°-α) =cos α / sin α = ctg α.

0  


 Пояснение (доказательство) простейших тригонометрических тождеств | Описание курса | Тригонометрические формулы понижения степени sin cos tg