Преобразования тригонометрических функций вида (α + a/bπ) и доказательство

Примечание. Для получения справочной информации см. также формулы преобразования тригонометрических функций.

Общий принцип преобразования функций вида α + a/bπ к более простому виду

Чтобы осуществить приведение угла тригонометрической функции, необходимо представить аргумент функции в виде

α + a/bπ * z. После этого можно будет воспользоваться правилами и формулами, которые указаны ниже.

Правило 1. Если z - натуральное число, то название функции не меняется

Формулы приведения аргумента тригонометрической функции для угла 2pi для sin cos tg

Пример. Приведем к более простому виду выражение cos 390.
Примем во внимание, что π = 180 градусов, тогда
cos 390 = cos ( 30 + 2π )
Теперь воспользуемся формулой (2) приведения на рисунке выше
cos ( 30 + 2π) = cos 30

Правило 2. Вычитание из 2π угла α

Формулы приведения угла аргумента функции sin cos tan 2pi - a.

Пример. Приведем к более простому виду выражение sin 345.
Примем во внимание, что π = 180 градусов, тогда
sin 345 = sin ( 2π - 15 )
Теперь воспользуемся формулой (1) приведения на рисунке выше, тогда
sin ( 2π - 15 ) = - sin 15

Правило 3. Сложение угла с π/2

Если аргумент тригонометрической функции содержит выражение π/2 или n*π/2, где n - натуральное нечетное число, то функция меняется по следующим правилам:

Формулы приведения аргумента тригонометрической функции вида a + pi/2 для sin cos tan ctg

Пример. Приведем к более простому виду выражение sin ( α + 5π/2 ).
sin ( α + 5π/2 ) = sin (α + π/2 + 2π*1)
sin (α + π/2 + 2π*1) = cos α

Правило 4. Формулы вычитания угла из π/2 (π/2 - α)

Если в аргументе тригонометрической функции есть вычитание угла из значения π/2, например cos( π/2 - α ), тогда можно воспользоваться следующими формулами преобразования аргумента:

Формулы приведения тригонометрических функций, когда из угла pi/2 нужно вычесть угол a для sin cos tg ctg

Пример. Приведем к более простому виду выражение cos ( 5π/2 - α ).
cos ( 5π/2 - α ) = cos( π/2 - α + 2π * 1)
cos( π/2 - α + 2π * 1) = sin α

Правило 5. Тригонометрические формулы приведения угла α + π

Если аргумент тригонометрической функции можно представить как сумму углов вида α + π + 2πz, то такая функция может быть приведена к более простому виду с помощью следующих формул:

Тригонометрические формулы приведения угла вида a + pi к более простому виду для sin cos tg ctg (a + pi)

Пример. Приведем к более простому виду выражение sin (7π + α)
sin (7π + α) = sin ( π + α + 2π * 3)
sin ( π + α + 2π * 3) = - sin α

Правило 6. Тригонометрические формулы приведения для угла ( π - α )

Если в аргументе тригонометрической функции нужно вычесть угол из π, то есть упростить аргумент функции вида ( π - α ), можно воспользоваться следующими формулами:

Формулы приведения аргумента функции пи минус альфа (pi - a) для sin cos tg ctg (pi - a)

Пример. Приведем к более простому виду выражение sin ( 5π - α ).
sin ( 5π - α ) = sin ( π - α + 2π * 2 )
sin ( π - α + 2π * 2 ) = sin α

Правило 7. Тригонометрические формулы приведения функций для углов ( 3π / 2 + α )

Формулы приведения тригонометрических функций вида sin (a + 3pi/2), cos(a + 3pi/2), tg(a + 3pi/2) к более простому виду. Преобразование аргументов функций альфа плюс 3pi/2

Пример. Приведем выражение cos (α + 7π/2) к более простому виду.
cos (α + 7π/2) = cos (α + 3π/2 + 2π * 1)
cos (α + 3π/2 + 2π * 1) = sin α

Правило 8. Тригонометрические формулы приведения аргумента для случаев вычитания угла α из 3 π / 2

Формулы приведения тригонометрических функций с аргументом угла вида ( 3pi/2 - a) для sin ( 3pi/2 - a), cos ( 3pi/2 - a), tg( 3pi/2 - a), ctg( 3pi/2 - a)

Пример. Приведем выражение sin ( 7π/2 - α ) к более простому виду.
sin ( 7π/2 - α ) = sin( 3π/2 - α + 2π * 1)
sin( 3π/2 - α + 2π * 1) = - cos α

Доказательство правильности формул преобразования тригонометрических функций вида (α + a/bπ)

ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА ОСТРЫХ УГЛОВ

Значения тригонометрических функций острых углов выводятся из соотношения сторон прямоугольного треугольника.

ТЕОРЕМА: Для любого острого угла α:

sin (90°- α)=cos α;

cos (90°- α)=sin α;

tg (90°- α)=ctg α.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с острым углом α. По теореме Пифагора:

АС²=АВ²+ВС².

ЗНАЧЕННЯ СИНУСА, КОСИНУСА І ТАНГЕНСА ГОСТРИХ КУТІВ

Значення тригонометричних функцій гострих кутів виводяться із співвідношення сторін прямокутного трикутника.

ТЕОРЕМА: Для будь-якого гострого кута α:

sin (90°- α)=cos α;

cos (90°- α)=sin α;

tg (90°- α)=ctg α.

Розглянемо прямокутний трикутник з гострим кутом α. За теоремою Піфагора:

АС²=АВ²+ВС².

Определение синуса косинуса и тангенса для углов 90-а для прямоугольного треугольника

По определению тригонометрических функций:

sin α= АВ/АС и cos α= ВС/АС (1)

Так как ∠А + ∠С = 90°, то
∠А = 90°- ∠С
∠ А=90°-α,

sin (90°-α)=ВС/АС и cos (90°-α)=АВ/АС (2)

Сравним равенства (1) и (2) и запишем тождественные равенства:

sin (90°-α) = cos α; cos (90°-α) = sin α. (3)

Вычислим tg (90°- α), зная, что тангенс угла равен отношению синуса и косинуса того же угла и используя равенства (3):

tg (90°-α) = sin(90°-α) / cos(90°-α) =cos α / sin α = ctg α.

За визначенням тригонометричних функцій:

sin α= АВ/АС и cos α= ВС/АС (1)

Так як ∠А+ ∠С = 90°, то
∠А = 90° - ∠ С
∠А = 90° - α,

sin (90°-α)=ВС/АС и cos (90°-α)=АВ/АС (2)

Порівняємо рівності (1) та (2) і запишемо тотожні рівності:

sin (90°-α) = cos α; cos (90°-α) = sin α. (3)

Прорахуємо tg (90°- α), знаючи, що тангенс кута дорівнює відношенню синуса і косинуса того ж кута і використовуючи рівності (3):

tg (90°-α) = sin(90°-α) / cos(90°-α) = cos / α sin α = ctg α.

Пояснение (доказательство) простейших тригонометрических тождеств | Описание курса | Тригонометрические формулы понижения степени sin cos tg