Список предметов
Теорема Пифагора и ее доказательство
50 / 181
Развернуть структуру обучения Свернуть структуру обучения

Теорема Пифагора и ее доказательство. Теорема Піфагора і її доказ


ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

ТЕОРЕМА: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

ТЕОРЕМА ПІФАГОРА

ТЕОРЕМА: У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.


Прямоугольный треугольник с высотой, опущенной на гипотенузу. Прямокутний трикутник з висотою, опущеною на гіпотенузу.

ДАНО: ΔABC∠C = 90°.

ДОКАЗАТЬ: АВ2=АС2+ВС2.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Для доказательства требуется выполнить дополнительное построение: из вершины прямого угла опустить перпендикуляр на гипотенузу (CD ⊥ AB).

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, имеющих общий острый угол A (ABC и ACD). По определению косинуса угла

cos A = AD / AC = AC / AB

Рассмотрим пропорцию:

AD / AC = AC / AB

По основному свойству пропорции: AC2=AD*AB.

Из прямоугольных треугольников с общим острым углом B (ABC и BCD) по аналогии получим равенство: BC2=BD*AB.

Сложим два равенства почленно:

AC2+BC2=AD*AB+BD*AB.

Преобразуем равенство в тождественное:

AC2+BC2=AB*(AD+BD), но AD+BD=AB, следовательно, AC2+BC2=AB2, что и требовалось доказать.

СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ:

1. В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы. Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонная, то любая наклонная больше перпендикуляра.

2. Косинус угла меньше единицы для любого острого угла.

3. Для любого равнобедренного треугольника с основанием а и сторонами b высота h, проведенная к основанию, равна корню квадратному из разности квадратов боковой стороны и половины основания треугольника

4. Равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.

В следствие 4 наклонные следует рассматривать как гипотенузы двух прямоугольных треугольников, у которых одна общая сторона (высота третьего треугольника), а вторые катеты служат проекциями гипотенуз и являются взаимно дополняющими прямыми.

ДАНОΔABC∠C = 90°.

ДОВЕСТИ: АВ2=АС2+ВС2.

ДОКАЗ: Для доказу потрібно виконати додаткове побудова: з вершини прямого кута опустити перпендикуляр на гіпотенузу (CD ⊥ AB).

Розглянемо два прямокутних трикутника, мають загальний гострий кут A (ABC иACD). За визначенням косинуса кута

cos A = AD / AC = AC / AB

Розглянемо пропорцію:

AD / AC = AC / AB

За основним властивості пропорції: AC2=AD*AB.

З прямокутних трикутників із загальним гострим кутом B (ABC и BCD) за аналогією отримаємо рівність: BC2=BD*AB.

Складемо два рівності почленно:

AC2+BC2=AD*AB+BD*AB.

Перетворимо рівність у тотожне:

AC2+BC2=AB*(AD+BD), але AD+BD=AB, а значить, AC2+BC2=AB2, що і необхідно було довести.

НАСЛІДКИ ТЕОРЕМИ:

1. У прямокутному трикутнику будь який з катетів менше гіпотенузи. Якщо до прямої з однієї точки проведено перпендикуляр і похила, то будь-яка похила більше перпендикуляра.

2. Косинус кута менше одиниці для будь-якого гострого кута.

3. Для будь-якого рівнобедреного трикутника з основою а і сторонами b висота h, проведена до основи, дорівнює кореню квадратному з різниці квадратів бічної сторони і половини підстави трикутника

4. Рівні похилі мають рівні проекції, з двох похилих більше та, у якої проекція більше.

В наслідок 4 похилі слід розглядати як гіпотенузи двох прямокутних трикутників, у яких одна спільна сторона (висота третього трикутника), а другі катети служать проекціями гіпотенуз і є взаємно доповнюючими прямими.


Теорема Пифагора и ее следствия
0  


 Высота в прямоугольном треугольнике (Часть 2) | Описание курса | Применение теоремы Пифагора 
   

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!




Нажмите, чтобы рекомендовать эту страницу другим:
Рейтинг@Mail.ru