Вертикальные и смежные углы

Один из смежных углов в три раза больше другого. Найдите эти углы.

Решение.

Согласно свойству смежных углов, сумма смежных углов 180 градусов, поскольку один в три раза больше второго, то обозначим градусную меру этого угла как х (икс), величина же второго угла составит, соответственно 3х. Сумма этих смежных углов (х и 3х) равна 180 градусам.

Составим уравнение:
х + 3х = 180
4х = 180
х = 45

Второй угол в три раза больше другого, соответственно

3 * 45 = 135 градусов

Ответ: величина смежных углов составляет 45 и 135 градусов

Задача 2. Углы, образовавшиеся при пересечении двух прямых

При пересечении двух прямых образовались четыре угла. При этом ни один из них не является тупым. Под каким углом пересекаются эти прямые?
Решение. 

При пересечении прямых образуются вертикальные и смежные углы. Каждый из образовавшихся углов имеет два смежных.

Сумма смежных углов равна 180 градусов. Поскольку угол больше 90 градусов - тупой, то ни один из них не может быть больше 90 градусов. С другой стороны, ни один из них не может быть меньше 90 градусов, поскольку их сумма не будет равна 180. 

Таким образом, в данном случае два любых смежных угла равны 90 градусов. Таким образом, все углы, образовавшиеся при пересечении двух данных прямых равны 90 градусам, то есть прямые.

Прямые AB и CD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке О. Луч OE проходит между лучами OA и OD. А луч OF проходит между лучами OB и OC. ∠EOB = 160 градусов, а ∠EOF = 140 градусов. Найдите угол COF.

Решение. 

Сумма всех углов, вокруг луча OF равна 360 градусов, что составляет полный развернутый угол.
Таким образом,  сумма градусных мер углов ∠FOB +∠BOE + ∠EOF = 360 градусов

Величина градусных мер двух из них даны по условию. 

Подставим их величины в выражение    
∠FOB + 160 + 140 = 360 

∠FOB + 300 = 360  
откуда ∠FOB = 60 градусов 

Угол COB - прямой по условию задачи, то есть он равен 90 градусов.

Величина угла COB равна сумме градусных мер углов FOB и COF    
то есть
FOB + COF = 90 градусов

Поскольку величину угла FOB мы уже нашли, подставим ее в уравнение
60 + COF = 90
COF = 30

Ответ: угол COF равен 30 градусов