Список предметов
Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике
100 / 189
Развернуть структуру обучения Свернуть структуру обучения

Тригонометрические соотношения (функции) в прямоугольном треугольнике

Соотношения сторон треугольника является основой тригонометрии и геометрии. Большинство задач сводится к использованию свойств треугольников и окружностей, а также прямых. Рассмотрим, что такое тригонометрические соотношения простым языком.

Прямоугольный треугольник ABC с отмеченными на нем углами альфа и бета
Тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике называются соотношения длин его сторон. При этом такое соотношение всегда одно и то же по отношению к углу, который лежит между сторонами, соотношение между которыми должно быть вычислено.

На рисунке обозначен прямоугольный треугольник ABC.
Рассмотрим тригонометрические соотношения его сторон относительно угла A (на рисунке он также обозначен греческой буквой α).

Примем во внимание, что сторона AB треугольника является его гипотенузой. Сторона AC является катетом, прилежащим к углу α, а сторона BC является катетом, противолежащим углу α.

Относительно угла α в прямоугольном треугольнике существуют следующие соотношения:

Косинусом угла называется отношение прилежащего к нему катета к гипотенузе данного прямоугольного треугольника. (см. что такое косинус и его свойства).
На рисунке косинусом угла α является соотношение  cos α = AC/AB (прилежащий катет делить на гипотенузу).
Обратите внимание, что для угла β прилежащим катетом является уже сторона BC, поэтому cos β = BC / AB. То есть тригонометрические соотношения вычисляются в соответствии с положением сторон прямоугольного треугольника относительно угла.

При этом буквенные обозначения могут быть любыми. Важно лишь взаимное расположение угла и сторон прямоугольного треугольника.

Синусом угла называется соотношение противолежащего к нему катета к гипотенузе прямоугольного треугольника (см. что такое синус и его свойства).
На рисунке синусом угла α является соотношение sin α = BC / AB (противолежащий катет делить на гипотенузу).
Поскольку для определения синуса важны взаимное расположение сторон прямоугольного треугольника относительно заданного угла, то для угла β функция синуса будет sin β = AC / AB.

Тангенсом угла называется соотношение противолежащего данному углу катета к прилежащему катету прямоугольного треугольника (см. что такое тангенс и его свойства ).
На рисунке тангенс угла α будет равен соотношению tg α = BC / AC. (противолежащий углу катет делить на прилежащий катет)
Для угла β, руководствуясь принципов взаимного расположения сторон, тангенс угла можно будет вычислить как tg β = AC / BC.

Котангенсом угла называется соотношение прилежащего данному углу катета на противолежащий катет прямоугольного треугольника. Как видно из определения, котангенс - эта функция, связанная с тангенсом соотношением 1/tg α . То есть они взаимно обратные.

Задача. Найти тригонометрические соотношения в треугольнике

  В треугольнике АВС угол С равен 90 градусам.  cos α = 4/5.  Надите sin α, sin β

Решение.
triangle 2.gif

Поскольку cos α = 4/5, то AC / AB = 4 / 5. То есть стороны соотносятся как 4:5. Обозначим длину AC как 4x, тогда AB = 5x.

По теореме Пифагора:
BC2 + AC2 = AB2

Тогда
BC2 + ( 4х )2 = ( 5х )2
BC2 + 16х2 = 25х2
BC2 = 9х2
BC = 3x

sin α = BC / AB = 3x / 5x = 3/5
sin β = AC / AB, а его значение и так известно по условию, то есть 4/5

Ответ: 3/5, 4/5
0  


 Тангенс и его свойства | Описание курса | Тригонометрический круг. Тригонометричне коло 
   

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!




Нажмите, чтобы рекомендовать эту страницу другим:
Рейтинг@Mail.ru