У даному уроці розміщені формули і задачі на знаходження площі рівнобедреного трикутника. Формули забезпечені поясненнями і коментарями. На окремому рисунку наведено відповідність умовних позначень формул і елементів рівнобедреного трикутника. Далі наведено розділ з прикладами розв'язання задач.
Літерні позначення сторін і кутів на рисунку відповідають позначенням, що вказані у формулах. Таким чином, це допоможе Вам зіставити їх з елементами рівнобедреного трикутника. З умов задачі визначте, які елементи відомі, знайдіть на кресленні їх позначення і підберіть підходящу формулу.
Формула площі рівнобедреного трикутника
Далi наведені
формули знаходження площі рівнобедреного трикутника: сторони, бічні сторони і кут між ними, через бічну сторону, підстава і кут при вершині, через сторону основи і кут при основі і т. д. Просто знайдіть найбільш підходящу на малюнку зліва. Для найдопитливіших в тексті праворуч пояснюється, чому формула явяляется правильної і саме з її допомогою знаходиться площа.
- Площа рівнобедреного трикутника можна знайти, знаючи його бік і основання. Цей вираз було отримано шляхом спрощення більш загальної, універсальної формули. Якщо взяти за основу формулу Герона, а потім взяти під увагу, що дві сторони трикутника рівні між собою, то вираз спрощується до формули, представленої на зображенні.
Приклад використання такої формули наведено на прикладі розв'язання задачі нижче.
- Друга формула дозволяє знайти його площу через бічні сторони і кут між ними - це половина квадрата бічної сторони, помножена на синус кута між бічними сторонами
Якщо подумки опустити висоту на бічну сторону рівнобедреного трикутника, зауважимо, що її довжина дорівнюватиме a * sin β. Оскільки довжина бічної сторони нам відома, висота, опущена на неї тепер відома, половина їх твори та буде дорівнює площі даного рівнобедреного трикутника (Пояснення: повне твір дає площа прямокутника, що очевидно. Висота ділить цей прямокутник на два малих прямокутника, при цьому сторони трикутника є їх діагоналями, які ділять їх рівно навпіл. Таким чином, площа рівнобедреного трикутника і буде дорівнює половині добутку бічної сторони на висоту). См. також Формулу 5
- Третя формула показує знаходження площі через бічну сторону, основу і кут при вершині.
Строго кажучи, знаючи один з кутів рівнобедреного трикутника, можна знайти й інші, тому застосування даної або попередньої формули - питання смаку (до речі, тому можна запам'ятати тільки одну з них).
У третьої формули також є ще одна цікава особливість - твір a sin α дасть нам довжину висоти, опущеної на основу. В результаті ми отримаємо просту і очевидну формулу 5.
- Площа рівнобедреного трикутника можна також знайти через сторону основи і кут при основі (кути при підставі рівні) як квадрат підстави, поділений на чотири тангенса половини кута, утвореного його бічними сторонами. Якщо придивитися уважніше, то стане очевидно, що половина підстави (b/2) помножена на tg(β/2) дасть нам висоту трикутника. Оскільки висота в равнобедренном трикутнику є, одночасно, бісектрисою і медіаною, то tg(β/2) - це відношення половини підстави (b/2) до висоті - tg(β/2) = (b/2)/h. Звідки h = b / (2 tg(β/2) ). У результаті формула знову буде зведена до більш простою Формулою 5, яка цілком очевидна.
- Зрозуміло, площу рівнобедреного трикутника можна знайти, опустивши висоту з вершини на основу, в результаті чого вийде два прямокутних трикутника. Далі - все очевидно. Половина твору висоти на основу і є шукана площа. Приклад використання даній формулі, див. задачі нижче (2-й спосіб рішення)
- Ця формула виходить, якщо спробувати знайти площу рівнобедреного трикутника за допомогою теореми Піфагора. Для цього виразимо висоту з попередньої формули, яка одночасно є катетом прямокутного трикутника, утвореного бічною стороною, половиною його заснування і висотою, через теорему Піфагора. Бічна сторона є гіпотенузою, тому з бічної сторони квадрата (а) віднімемо квадрат другого катета. Оскільки він дорівнює половині підстави (b/2) то його квадрат буде дорівнює b2/4. Знаходження кореня з даного виразу і дасть нам висоту. Що і видно в Формулі 6. Якщо чисельник і знаменник помножити на два, а потім двійку чисельника внести під знак кореня, отримаємо другий варіант тієї ж самої формули, який написаний через знак "дорівнює".
До речі, найкмітливіші можуть побачити, що якщо в Формулі 1 розкрити дужки, то вона перетворитися в Формулу 6. Або навпаки, різниця квадратів двох чисел, розкладена на множники, дасть нам вихідну, першу.
Позначення, які були застосовані у формулах на рисунку:
a - довжина однієї з двох рівних сторін трикутника
b - довжина основи
α - величина одного з двох рівних кутів при основі
β - величина кута між рівними сторонами трикутника і противолежащего його основи
h - довжина висоти, опущена з вершини на основу рівнобедреного трикутника
Важливо. Зверніть увагу на позначення змінних! Не переплутайте α і β, а також a і b!
См. також: інші формули і властивості рівнобедреного трикутника
Примітка. Це частина уроку із завданнями з геометрії (розділ площа рівнобедреного трикутника). Тут розміщені завдання, які викликають труднощі при рішенні. Якщо Вам необхідно вирішити завдання з геометрії, якої тут немає - пишіть про це у форумі. Для позначення дії витягу квадратного кореня в рішеннях задач використовується символ √ або sqrt(), при чому в дужках вказано підкореневий вираз.
Завдання
Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 13 см, а основа дорівнює 10 див.
Знайдіть площу рівнобедреного трикутника.
Рішення.
1-й спосіб. Застосуємо формулу Герона. Оскільки трикутник рівнобедрений, то вона прийме більш простий вигляд (див. формулу 1 в списку формул вище):
де а - довжина бічних сторін, а b - довжина основи.
Підставивши значення довжин сторін трикутника з задачі, отримаємо:
S = 1/2 * 10 * √ ((13 + 5 )( 13 - 5 )) = 5 √ (18 * 8) = 60 см
2
2-й спосіб. Застосуємо теорему Піфагора
Припустимо, що ми не пам'ятаємо формулу, використану в першому способі рішення. Тому опустимо з вершини B на підставу AC висоту BK.
Оскільки висота рівнобедреного трикутника ділить його основу навпіл, то довжина половини підстави буде дорівнює
AK = AC / 2 = 10 / 2 = 5 см .
Висота з половиною підстави і стороною рівнобедреного трикутника утворює прямокутний трикутник ABK. У цьому трикутнику нам відома гіпотенуза AB і катет AK. Виразимо довжину другого катета через теорему Піфагора.
