Список предметов
Правильная треугольная пирамида (правильная пирамида с треугольником в основании)
153 / 190

В этом уроке приведены определение и свойства правильной треугольной пирамиды и ее частного случая - тетраэдра (см. ниже).
Ссылки на примеры решения задач приведены в конце урока.

Определение

Правильная треугольная пирамида - это пирамида, основанием которой является правильный треугольник, а вершина проецируется
в центр основания.

Правильная треугольная пирамида (с правильным треугольником в основании) с обозначенными апофемой, радиусом вписанной и описанной окружности, высотой

На рисунке обозначены:
ABC - Основание пирамиды
OS - Высота
KS - Апофема
OK - радиус окружности, вписанной в основание
AO - радиус окружности, описанной вокруг основания правильной треугольной пирамиды
SKO - двугранный угол между основанием и гранью пирамиды (в правильной пирамиде они равны)

Важно. В правильной треугольной пирамиде длина ребра (на рисунке AS, BS, CS ) может быть не равна длине стороны основания
(на рисунке AB, AC, BC). Если длина ребра правильной треугольной пирамиды равна длине стороны основания, то такая пирамида
называется тетраэдром (см. ниже).

Свойства правильной треугольной пирамиды:

  • боковые ребра правильной пирамиды равны
  • все боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками
  • в правильную треугольную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу
  • если центры вписанной и описанной вокруг правильной треугольной пирамиды, сферы совпадают, то сумма плоских углов при
    вершине пирамиды равна π (180 градусов) , а каждый из них соответственно равен π / 3  (пи делить на 3 или 60 градусов ).
  • площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
  • вершина пирамиды проецируется на основание в центр правильного равностороннего треугольника,, который является центром
    вписанной окружности и точкой пересечения медиан

Формулы для правильной треугольной пирамиды

Формула объема правильной треугольной пирамиды:

Формула объема правильной треугольной пирамиды, радиуса вписанной и описанной окружности.Нахождение объема правильной треугольной пирамиды через высоту и радиус вписанной или описанной окружности

где

V - объем правильной пирамиды, имеющей в основании правильный (равносторонний) треугольник
h - высота пирамиды
a - длина стороны основания пирамиды
R - радиус описанной окружности
r - радиус вписанной окружности

Поскольку правильная треугольная пирамида является частным случаем правильной пирамиды, то формулы, которые верны для
правильной пирамиды, верны и для правильной треугольной - см. формулы для правильной пирамиды.

Примеры решения задач:

См. пример задачи: формулы и свойства тетраэдра.



0  


 Пирамида с равнобедренным треугольником в основании | Описание курса | Периметр основания правильной треугольной пирамиды