|
|
Примечание. В данной главе приводится формулировка и доказательство теоремы синусов. В уроках главы приведены задачи по геометрии с решениями на эту же тему. См. также Теорема косинусов.
Теорема синусов
Теорема синусов устанавливает зависимость между величиной углов треугольника и противолежащих ему сторон.
Формулировка теоремы синусов:
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов
или,
где
R - радиус описанной вокруг треугольника окружности
a, b, c - стороны треугольника
α, β, γ - величины противолежащих этим сторонам углов
Доказательство теоремы синусов
Доказательство теоремы синусов происходит с помощью дополнительных построений.
Построим произвольный треугольник, вписанный в окружность. Обозначим его как ABC.
Дополнительно построим диаметр окружности, в который вписан произвольный треугольник, но так, чтобы он проходил через один из его углов. Диаметр равен двойному радиусу окружности (2R).
Примем во внимание, что одним из свойств прямоугольного треугольника, вписанного в окружность является то, что его гипотенуза, является диаметром окружности, в которую он вписан.
Обозначим диаметр для описанной окружности как BD. Образовавшийся треугольник BCD является прямоугольным, поскольку его гипотенуза лежит на диаметре описанной окружности (свойство углов, вписанных в окружность).
Таким образом, дополнительно построенный треугольник, у которого одна общая сторона с построенным ранее произвольным треугольником, а гипотенуза совпадает с диаметром окружности - является прямоугольным. То есть треугольник DBC - прямоугольный.
Для доказательства всей теоремы, поскольку размеры треугольника ABC выбраны произвольным образом, достаточно доказать, что соотношение одной произвольной стороны к противолежащему ей углу равно 2R.
Пусть это будет 2R = a / sin α, то есть если взять по чертежу 2R = BC / sin A.
Поскольку, углы, вписанные в окружность, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то угол CDB либо равен углу CAB (если точки A и D лежат по одну сторону от прямой BC), либо равен π - CAB (в противном случае).
Обратимся к свойствам тригонометрических функций. Поскольку sin( π − α ) = sin α, то указанные варианты построения треугольника все равно приведут к одному результату.
Вычислим значение 2R = a / sin α, по чертежу 2R = BC / sin A. Для этого заменим sin A на соотношение соответствующих сторон прямоугольного треугольника.
2R = BC / sin A
2R = BC / ( BC / DB )
2R = DB
А, поскольку, DB строился как диаметр окружности, то равенство выполняется.
Повторив то же рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем:
Теорема синусов доказана.
Синус |
Описание курса
| Задачи на решение с помощью теоремы синусов
|
