Список предметов
Объем правильной усеченной пирамиды
162 / 189
Развернуть структуру обучения Свернуть структуру обучения

Задача

В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны нижнего и верхнего оснований а и b, а двугранный угол при ребре нижнего основания равен α. Найти объем пирамиды.

У правильної зрізаної чотирикутної піраміди боку нижнього і верхнього підстав а і b, а двогранний кут при ребрі нижньої основи дорівнює α. Знайти об'єм піраміди.


Усеченная пирамида с обозначенной высотой и двугранным углом. Усічена піраміда з визначеною висотою і двуграним кутом

Решение. Рiшення.

Объем усеченной пирамиды найдем по стандартной формуле. (Формула 1)

Высоту усеченной пирамиды выразим через прямоугольный треугольник, который образован сечением, перпендикулярным углу наклона боковых граней (на рисунке обозначен пересечением зеленой и синих линий). Поскольку сечение имеет форму равнобокой трапеции, то катет этого прямоугольного треугольника равен разности длин оснований пирамиды деленным на два. Второй катет представляет собой высоту пирамиды. Соотношение катетов этого прямоугольного треугольника будет тангенсов угла, который образуют боковые грани и основание. (Формула 2)

Поскольку величина угла известна по условию задачи, то мы знаем и значение тангенса этого угла. Поэтому выразим высоту усеченной пирамиды через имеющееся выражение (Формула 3)

Подставим получившееся выражение из формулы 3 в формулу объема усеченной пирамиды (Формула 1), получим Формулу 4

Упростим получившееся выражение и получим ответ к задаче - Формула 5
Об'єм зрізаної піраміди знайдемо за стандартною формулою. (Формула 1)

Висоту усіченої піраміди виразимо через прямокутний трикутник, який утворений перетином, перпендикулярним куту нахилу бічних граней (на рисунку позначений перетинанням зеленої і синіх ліній). Оскільки перетин має форму трапеції, то катет цього прямокутного трикутника дорівнює різниці довжин основ піраміди подiленим на два. Другий катет являє собою висоту піраміди. Співвідношення катетів цього прямокутного трикутника буде тангенсом кута, який утворюють бічні грані і підстава. (Формула 2)

Оскільки величина кута відома за умовою задачі, то ми знаємо і значення тангенса цього кута. Тому виразимо висоту усіченої піраміди через тангенс кута (Формула 3)

Підставимо отриманий вираз з формули 3 у формулу об'єму усіченої піраміди (Формула 1), отримаємо Формулу 4

Спростимо отримане вираження і отримаємо відповідь до завдання - Формула 5

.Нахождение объема правильной усеченной пирамиды, у которой заданы стороны оснований и угол наклона боковых граней. Знаходження обсягу правильної зрізаної піраміди, у якій задані сторони основ і кут нахилу бічних граней.

0  


 Апофема правильной пирамиды | Описание курса | Правильная пирамида с четырехугольником в основании 
   

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!




Нажмите, чтобы рекомендовать эту страницу другим:
Рейтинг@Mail.ru