Список предметов
Хорда
28 / 191

Определение хорды

Хорда к окружности с обозначенными цветом центральным углом и дугой. Между дугой и хордой находится сегмент окружности
Хорда - это отрезок, который соединяет две точки заданной кривой. Хорда может быть у дуги, окружности, эллипса и т.д. 
На рисунке хорда обозначена как отрезок AB красного цвета. Оба его конца находятся на окружности

Часть кривой, заключенной между двумя точками хорды, называется дугой.
На рисунке дуга хорды AB обозначена зеленым цветом.

Плоская фигура, заключенная между дугой и ее хордой называется сегментом.
Сегмент на рисунке ограничен красным отрезком AB с одной стороны, и зеленой дугой - с другой стороны.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности. Диаметр окружности - самая длинная хорда окружности.

Свойства хорды к окружности

  • Если расстояния от центра окружности до хорд равны, то эти хорды равны. Верно и обратное - если хорды равны, то расстояния от центра окружности до этих хорд равны
  • Если хорда больше, то расстояние от центра окружности до этой хорды меньше. Если хорда меньше, то расстояние от центра окружности до этой хорды больше. Верно и обратное
  • Наибольшая возможная хорда является диаметром
  • Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности
  • Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр перпендикулярен этой хорде. Верно и обратное  - если диаметр перпендикулярен хорде, то этот диаметр делит эту хорду пополам
  • Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр делит дуги, стягиваемые этой хордой, пополам. Верно и обратное - если диаметр делит дугу пополам, то этот диаметр делит пополам хорду, стягивающую эту дугу
  • Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус перпендикулярен этой хорде. Верно и обратное - если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит эту хорду пополам
  • Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам. Верно и обратное - если радиус делит дугу пополам, то этот радиус делит пополам хорду, стягивающую эту дугу.
  • Если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам. Верно и обратное - если радиус делит дугу пополам, то этот радиус перпендикулярен хорде, стягивающей эту дугу.
Хорда к окружности вместе с вписанным [1] и центральными углами [2]

Свойства хорды и вписанного угла

На рисунке [1] вписанный угол обозначен обозначен как ACB, хорда окружности - AB
  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду и вершины этих углов лежат по одну сторону этой хорды, то эти углы равны.
  • Если пара вписанных углов опирается на одну и ту же хорду и вершины этих углов лежат по разные стороны этой хорды, то сумма этих углов равна 180°.
  • Если вписанный и центральный углы опираются на одну и ту же хорду и вершины этих углов лежат по одну сторону этой хорды, то вписанный угол равен половине центрального угла.
  • Если вписанный угол опирается на диаметр, то этот угол является прямым.

Свойства хорды и центрального угла

На рисунке [2] центральный угол обозначен как AOB, хорда как AB.
  • Если хорды стягивают равные центральные углы, то эти хорды равны.
  • Если хорды равны, то эти хорды стягивают равные центральные углы.
  • Большая хорда стягивает больший центральный угол, меньшая хорда стягивает меньший центральный угол.
  • Больший центральный угол стягивается большей хордой, меньший центральный угол стягивается меньшей хордой.

Формулы нахождения хорды

Обозначения хорды, перпендикуляра, центрального угла и радиуса окружности для использования в формулах
Обозначения в формулах:
l - длина хорды
α - величина центрального угла
R - радиус окружности
d - длина перпендикуляра, проведенного от центра окружности к хорде
Формулы нахождения длины хорды через длину окружности, центрального угла и перпендикуляр к хорде

Длина хорды окружности равна удвоенному радиусу данной окружности, умноженному на синус половины центрального угла.
Сумма квадрата половины длины хорды и квадрата перпендикуляра, проведенного к этой хорде, равна квадрату радиуса окружности. Данная формула следует из теоремы Пифагора.

Решение задач

Примечание. Если Вы не нашли решение подходящей задачи, пишите об этом в форуме. Наверняка, курс геометрии будет дополнен.

Задача.

Хорды АВ и СD пересекаются в точке S, при чем AS:SB = 2:3, DS = 12см, SC = 5см, найти АВ. 


Решение.
Хорды к окружности
Поскольку соотношение AS:SB = 2:3 , то пусть длина AS = 2x, SB = 3x

Согласно свойству хорд AS x SB = CS x SD, тогда

2х * 3х = 5 * 12
6х2 = 60
х2 = 10
x = √10

Откуда
AB = AS + SB
AB = 2√10 + 3√10= 5√10

Ответ: 5√10

Задача.

Окружность разделена на части, которые относятся как 3,5:5,5:3 и точки деления соединены между собой. Определить величину углов образовавшегося треугольника.  

Решение.
Обозначим коэффициент пропорциональности дуг окружности, как х. Соединим центры окружности с концами дуг. Поскольку центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается, то соотношение центральных углов окружности будет равно соотношению ее частей (дуг).
Поскольку градусная мера окружности равна 360 градусам, то

3,5х + 5,5х + 3х = 360
12х = 360
х = 30

Откуда градусные величины центральных углов равны:
3 * 30 = 90
3,5 *30 = 105
5,5 *30 = 165

Окружность разделенная на части с образованием треугольника
Углы образовавшегося треугольника являются углами, вписанными в окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.
Откуда углы треугольника равны:

90 / 2 = 45
105 / 2 = 52,5
165 / 2 = 82,5

Ответ: Величина углов треугольника равна 45 ; 52,5 ; 82,5 ;
0  


 Задачи про окружность | Описание курса | Треугольник (Трикутник)