Подобие треугольников. Третий признак подобия
49 / 181

В этом уроке, вы найдете решение задач по геометрии, которые используют правила подобия треугольников и являются интересными для решения. Я их размещаю здесь если они вызывают некоторые трудности при решении у школьников.

Задача

Треугольники ABC и A1B1C1 подобны. Соотношение сторон теругольников 3:4 . Площадь одного из них больше площади другого на 14 см2. Найдите площади треугольников.

Решение

Для решения данной задачи будем руководствоваться основным свойством подобия треугольников - все размеры одного теругольника подобны размерам другого. Сначала опустим на сторону а каждого треугольника высоту h. Таким образом площадь первого треугольника будет выражаться формулой S1=1/2ah, а площадь второго треугольника формулой S2=1/2*3/4a*3/4h. Таким образом, можно определить соотношение площадей треугольников:

S1/S2 = 1/2 ah / ( 1/2 * 9/16 ah)

S1/S2 = ah / ( 9/16 ah)

S1/S2 = 16/9

Выше перечисленные преобразования мы могли бы не проводить, если нам известна теорема: "площади подобных треугольников относятся как квадрат соотношения их сторон"

Выразим площадь одного треугольника через площадь другого:

S1=16S2/9

По условию задачи S1-S2=14, таким образом

16S2/9-S2=14

7/9S2=14

S2=18, следовательно S1 = 14+18=32

Ответ: 18 и 32

Задача

Стороны AB и DC трапеции ABCD продлили так, что прямые AB и DC пересеклись в точке E. Таким образом, продолжения сторон трапеции образовали треугольник площадью 98 квадратных сантиметров. Найти площадь трапеции, если ее основания относятся друг к другу как 5 к 7.

Решение

Начало решения.

Из условия задачи видно, что у нас получились треугольники EAD и EBC. Поскольку оба треугольника имеют общий угол E, а основания трапеции, являющиеся параллельными, согласно теореме Фалеса, отсекают на сторонах AE и DE пропорциональные отрезки отрезки, то треугольники EAD и EBC являются подобными.

Способ 1.

Опустим из вершины E высоту на основание AD. Она же будет высотой для основания BC, поскольку основания трапеции параллельны. Обозначим высоту для треугольника EAD как h1, а для треугольника EBC как h2.

Таким образом:
Площадь треугольника EAD будет равна SEAD=1/2*AD*h1.
Площадь треугольника EBC будет равна SEBC=1/2*BC*h2.

Поскольку треугольники подобны, то все стороны относятся друг к другу с одним и тем же коэффициентом подобия. Поскольку основания трапеции относятся дрцг к другу как 5:7, то и все остальные стороны относятся друг к другу с тем же соотношением. Из этого следует:
BC / AD = 5 / 7
BC = 5AD / 7

аналогично:
h2 / h1 = 5 / 7
h= 5h1 / 7

Таким образом:
SEBC=1/2*BC*h2.
Подставим значения сторон меньшего подобного треугольника через значения сторон большего подобного треугольника:
SEBC=1/2*(5AD / 7)*(5h1 / 7)
SEBC=1/2*AD*h1*25 / 49

Заметим, что по условию задачи площадь получившегося треугольника EAD равна 98 сантиметрам, одновременно SEAD=1/2*AD*h1.
Подставим вместо указанного выражения его значение:
SEBC = 98*25/49
SEBC = 50 см2

Способ 2.

Если нам известна теорема: "площади подобных треугольников относятся как квадрат соотношения их сторон", то площади подобных треугольников AED и BEC будут соотноситься как 52 : 72. То есть:
SEBC / SEAD = 52 / 72
SEBC / SEAD = 25 / 49
SEBC = SEAD * 25 / 49

Поскольку площадь треугольника EAD известна нам по условию и составляет 98 см2 , то
SEBC = 98 * 25 / 49
SEBC = 50 см2

Продолжение решения.

Площадь трапеции ABCD равна разности площадей треугольников AED и BEC. Таким образом, площадь трапеции равна 98 - 50 = 48 см2.

Ответ: 48 см2.
0  


 Подобие треугольников. Первый признак подобия | Описание курса | Подобие треугольников. Использование в задачах 
   

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!




Нажмите, чтобы рекомендовать эту страницу другим:
Рейтинг@Mail.ru Яндекс.Метрика