|
|
Задача
На диагонали МР прямоугольника МNРQ отложены равные отрезки МА и РВ. Докажите, что АNBQ параллелограмм.
Решение.
Четырехугольник является параллелограммом, если его противоположные стороны попарно равны. Докажем это.
Исходя из условия задачи треугольники MAN и PBQ равны. Так как PB = AM по условию задачи, PQ = NM как противоположные стороны прямоугольника, а углы BPQ и NMA равны, как внутренние накрест лежащие для параллельных прямых NP и MQ и секущей MP.
Аналогично доказывается равенство треугольников NBP и QAM.
Поскольку описанные треугольники равны, то NA = BQ, NB = BQ.
Таким образом, поскольку противолежащие стороны равны, то АNBQ параллелограмм.
Задача
В параллелограмме ABCD диагональ BD = 6 см и образует со сторонами AD и DC углы по 60 градусов. Определите углы и периметр параллелограмма ABCD.
Дополнительно: определите вид четырехугольника ABMD, где точка M - середина DC, определите углы четырехугольника ABMD.
Решение.
Поскольку нам дана величина угла ADB (диагональ параллелограмма образует со сторонами AD и DC углы по 60 градусов), то величина угла DBC также равна 60 градусов, поскольку противоположные стороны параллелограмма параллельны, соответственно диагональ является секущей для двух параллельных прямых AD и BC, а для любой секущей внутренние накрест лежащие углы равны.
Таким образом, в треугольнике BCD нам известны два угла из трех, и они оба равны 60 градусов. Соответственно, поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусов, то угол BCD также равен 60 градусам, из чего следует, что треугольник BCD - равносторонний.
Поскольку треугольник BCD - равносторонний, то BC = CD = BD = 6 см.
Таким образом, поскольку противолежащие стороны параллелограмма равны, периметр его равен 24 см. Параллелограмм является ромбом.
Дополнительно:
Поскольку точка М лежит на стороне CD, то AB и MD - параллельны, следовательно, ABMD - трапеция.
Угол DAB трапеции равен 60 градусов, исходя из решения, изложенного выше, как угол параллелограмма.
Угол ADM равен 120 градусов, так как по условию диагональ BD образует со сторонами AD и DC углы по 60 градусов, а ADM равен сумме данных углов.
Поскольку по условию точка M - середина DC, CM = MD. Значит BM - медиана треугольника DBC. Как указано выше, треугольник DBC - равносторонний, а в равностороннем треугольнике медиана является, одновременно, биссектрисой и высотой. Значит, угол DBM равен половине угла DBC и равен 60 / 2 = 30 градусов. Откуда угол ABM = 60 + 30 = 90 градусов. Поскольку BM - высота, то BMD равен также 90 градусов.
Исходя из сказанного, ABMD - прямоугольная трапеция.
Ответ: 24 см. 60º, 90º, 90º, 120º - прямоугольная трапеция.
Параллелограмм. Задачи про площадь и стороны |
Описание курса
| Площадь параллелограмма
|
