См. также:

Таблица преобразований двойного угла всех функций.

В процессе решения задач с преобразованием тригонометрических функций бывает необходимо преобразовать значение двойного угла в выражение, в котором все члены имеют аргумент с одинарным его значением. Например, косинус два альфа необходимо преобразовать в выражение, в котором аргументом тригонометрической функции является альфа (одинарный угол). Ниже приведены тригонометрические преобразования косинуса с двойным аргументом функции.

Формулы косинуса двойного угла

Далее приведены формулы (тождества) для преобразования косинуса двойного угла.

Косинус двойного угла равен разности квадрата косинуса одинарного угла и квадрата синуса этого угла

Косинус двойного угла равен удвоенному квадрату косинуса одинарного угла минус единица

Косинус двойного угла равен единице минус двойной синус квадрат одинарного угла

Зачем это нужно.

Указанные здесь преобразования (тождества) часто помогают получить точное значение для углов, которые не всегда можно найти в таблице часто встречающихся значений тригонометрических функций. 

Например, нам необходимо вычислить значение косинуса 120 градусов. 

Для этого, возьмем значение косинуса 60 градусов. Его значение известно. 

Если представить выражение cos 120 как косинус двойного угла

cos 120º = cos (2 * 60º)

оказывается, можно получить и точное значение для этого угла, применяя указанные выше формулы.

cos 120º = cos (2 * 60º) 

cos 120º = 2 cos² 60º - 1
Мы привели косинус угла, значение которого мы "не знаем", к значению, которое нам известно.
Поскольку значение cos 60 = 1/2 , то вычислим полученное выражение:
2 cos² 60º - 1 = 2 (1/2)²  - 1 = 2 х 1/4 - 1 = -1/2

таким образом

cos 120º = -1/2

По аналогии, применяя формулы косинуса двойного угла, мы можем как решать тригонометрические уравнения, так и находить значения двойных углов тригонометрических функций на основании уже известных нам значений.

См. также:

Более полная таблица преобразований тригонометрических функций (тригонометрические тождества).