Список предметов
Как найти длину медианы треугольника
32 / 188
Развернуть структуру обучения Свернуть структуру обучения
Примечание. В данном уроке изложены задачи по геометрии о медиане треугольника. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Почти наверняка курс будет дополнен.

Задача. Найти длину медианы треугольника через его стороны

Стороны треугольника равны 8, 9 и 13 сантиметров. К наибольшей стороне треугольника проведена медиана. Определите медиану треугольника исходя из размеров его сторон.

Решение.

Задача имеет два способа решения. Первый, который не нравится учителям средней школы, но является наиболее универсальным.

Способ 1.

Медианы, проведенные к сторонам произвольного треугольника с обозначением символами длины каждого отрезка
Применим Теорему Стюарта, согласно которой квадрат медианы равен одной четвертой от суммы удвоенных квадратов сторон из которой вычли квадрат стороны, к которой проведена медиана.
Формула нахождения длины медианы треугольника через длины его сторон (Теорема Стюарта)

mc2 = ( 2a2 + 2b2 - c2 ) / 4

Соответственно

mc2 = ( 2 * 82 + 2 * 92 - 132) / 4
mc2 = 30,25
mc = 5,5 см

Способ 2.

Второй способ решения, который преподаватели в школе любят - это дополнительные построения треугольника до параллелограмма и решение через теорему о диагоналях параллелограмма.

Продлим стороны треугольника и медиану достроив их до параллелограмма. В этом случае медиана BO треугольника ABC будет равна половине диагонали получившегося параллелограмма, а две стороны треугольника AB, BC - его боковым сторонам. Третья сторона треугольника AC, к которой была проведена медиана, является второй диагональю получившегося параллелограмма.

Пример решения задачи на нахождение медианы треугольника через дополнительное построение до параллелограмма

Согласно теореме, сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон.

2(a2+b2)=d12+d22

Обозначим диагональ параллелограмма, которая образована продолжением медианы исходного треугольника как х, получим:

2( 82 + 92 ) = 132 + x2
290 = 169 + x2
x2 = 290 - 169
x2 = 121
х = 11

Поскольку искомая медиана равна половине диагонали параллелограмма, то величина медианы треугольника составит 11 / 2 = 5,5 см

Ответ: 5,5 см
0  


 Медиана треугольника | Описание курса | Нахождение площади через медианы 
   

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!




Нажмите, чтобы рекомендовать эту страницу другим:
Рейтинг@Mail.ru