Теорема синусов
105 / 178
Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел теорема синусов). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение.

Теорема синусов:
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, или, в расширенной формулировке:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R
где R - радиус описанной окружности

Теорию - формулировку и доказательство теоремы подробно см. в главе "Теорема синусов".

Задача

В треугольнике XYZ угол Х=30 угол Z=15. Перпендикуляр YQ к ZY делит сторону ХZ на части XQ и QZ.Найти XY, если QZ=1.5м

Решение.
Высота образовала два прямоугольных треугольника XYQ и ZYQ.
Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов.
QZ / sin( QYZ ) = QY / sin( QZY )

QZY = 15 градусов, Соответственно, QYZ = 180 - 90 - 15 = 75

Примем во внимание табличные значения некоторых тригонометрических функций:
  • синус 15 градусов равен sin( 15 ) = Синус 15 градусов, косинус 75 градусов
  • синус 75 градусов равен sin( 75 ) = Косинус 15 градусов, синус 75 градусов

Пример решения задачи по теореме синусов(или то же самое  "при записи в одну строку")
QZ / sin( 75 ) = QY / sin( 15 )
QZ / ( ( √3 + 1 ) / ( 2√2 ) )  = QY / ( ( √3 - 1 ) / ( 2√2  ) )
QZ * 2√2 / ( √3 + 1 ) = QY * 2√2 / ( √3 - 1 )
3√2 ( √3 - 1 ) = QY * 2√2 ( √3 + 1 )
QY = 3√2 ( √3 - 1 ) / ( 2√2 ( √3 + 1 ) )
QY = 3/2 ( 3 - 1 ) / ( 3 + 1 )


Поскольку длина высоты треугольника теперь известна, найдем XY по той же теореме синусов.

QY / sin( 30 ) = XY / sin( 90 )

Примем во внимание табличные значения некоторых тригонометрических функций:
  • синус 30 градусов равен sin( 30 ) = 1 / 2
  • синус 90 градусов равен sin( 90 ) = 1
тогда

QY = XY sin ( 30 )
3/2 ( √3 - 1 ) / ( √3 + 1 ) = 1/2 XY
XY = 3 ( √3 - 1 ) / ( √3 + 1 ) ≈ 0.8 м

Ответ: 0,8 м  или  3 ( √3 - 1 ) / ( √3 + 1 )
0  


 Теорема синусов | Описание курса | Теорема синусов (часть 2) 
   

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!




Нажмите, чтобы рекомендовать эту страницу другим:
Рейтинг@Mail.ru Яндекс.Метрика