Равнобокая трапеция
75 / 178
Примечание. Это часть курса обучения с задачами по геометрии (раздел равнобокая трапеция). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √  или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение.

Задача

Основания равнобедренной (равнобокой) трапеции равны 8 и 20 сантиметров. Боковая сторона равна 10 см. Найдите площадь трапеции, подобной данной, которая имеет высоту 12 см.

Решение.
Из вершины B трапеции ABCD опустим высоту BM на основание AD. Из вершины C на основание AD опустим высоту CN. Поскольку MBCN является прямоугольником, то

AD = BC + AM + ND

Треугольники, получившиеся в результате того, что мы опустили из меньшего основания равнобокой трапеции на большее две высоты - равны. Таким образом,

AD = BC + AM * 2
AM = (AD - BC) / 2
AM = ( 20 - 8 ) / 2 = 6 см

Таким образом, в треугольнике ABM, образованном высотой, опущенной из меньшего основания трапеции на большее нам известны катет и гипотенуза. Оставшийся катет, который одновременно является высотой трапеции, найдем по теореме Пифагора:

BM2 = AB2 - AM2
BM2  = 102 - 62
BM = 8 см

Поскольку высота трапеции ABCD равна 8 см, а высота подобной трапеции - 12 см, то коэффициент подобия будет равен

k = 12 / 8 = 1,5

Поскольку в подобных фигурах все геометрические размеры пропорциональны друг другу с коэффициентом подобия, найдем площадь подобной трапеции. Произведение полусуммы оснований подобной трапеции на высоту выразим через известные геометрические размеры исходной трапеции и коэффициент подобия:

Sпод = (AD * k + BC * k ) / 2 * ( BM * k )
Sпод = ( 20 * 1,5 + 8 * 1,5 ) / 2 * (8 * 1,5) = ( 30 + 12 ) / 2 * 12 = 252 см2 

Ответ:  252 см2 

Задача

В равнобокой трапеции большее основание 36см,боковая сторона 25см, диагональ 29см.найти площадь трапеции.

Решение.

Из вершины B трапеции ABCD опустим высоту BM на основание AD. Для получившихся прямоугольных треугольников ABM и BMD справедливо следующее:
AB2  = BM2  + AM2
AD2 = BM2 + MD2

Поскольку высота равнобокой трапеции одновременно равна
BM2 = AB2 - AM2
BM2 = AD2 - MD2

Таким образом,
AB2 - AM2  = AD2 - MD2
252 -  AM2  = 292 - MD2

Так как AD = AM + MD, то
AM + MD = 36
MD = 36 - AM

Откуда
252 -  AM2  = 292 - (36 -AM)2
625 - AM2  = 841 - (36 -AM)2
625 - AM2  = 841 - (1296 - 72AM + AM2 )
625 - AM2  = 72AM - 455 - AM2
625 = 72AM - 455
AM = 15

Откуда MD = 36 - 15 = 21

Поскольку AM = 15, то величина меньшего основания равнобокой трапеции будет равна 36 - 15 *2 = 6 см

Высоту равнобокой трапеции найдем по теореме Пифагора:
BM2 = AB2 - AM2
BM2 = 625 - 225
BM = 20

Площадь равнобокой трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту трапеции.
S = 1/2 (36 + 6 ) * 20 = 420 см2 .

Ответ: 420 см2 .

0  


 Высота равнобедренной трапеции | Описание курса | Равнобокая трапеция (часть 2) 
   

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!




Нажмите, чтобы рекомендовать эту страницу другим:
Рейтинг@Mail.ru Яндекс.Метрика