Площадь сферы
165 / 178
Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о сфере). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом на форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√".

Задача

В сферу вписан конус, образующая которого равна l, а угол при вершине осевого сечения равен 60 градусов. Найдите площадь сферы.

Решение.
Площадь сферы найдем по формуле:

S = 4πr2

Поскольку в сферу вписан конус, проведем сечение через вершину конуса, которое будет равнобедренным треугольником. Поскольку угол при вершине осевого сечения равен 60 градусам, то треугольник - равносторонний (сумма углов треугольника - 180 градусов, значит остальные углы ( 180-60 ) / 2 = 60 , то есть все углы равны ).

Откуда радиус сферы равен радиусу окружности, описанного вокруг равностороннего треугольника. Сторона треугольника по условию равна l . То есть

R = √3/3 l

Таким образом площадь сферы

S = 4π(√3/3 l)2
S = 4/3πl2

Ответ: площадь сферы равна 4/3πl2.

Задача

Емкость имеет форму полусферы (полушара). Длина окружности основания равна 46 см. На 1 квадратный метр расходуется 300 граммов краски. Сколько необходимо краски, чтобы покрасить емкость? 

Решение.
Площадь поверхности фигуры будет равна половине площади сферы и площади сечения сферы.
Поскольку нам известна длина окружности основания, найдем ее радиус:
L = 2πR
Откуда
R =  L / 2π
R = 46 / 2π
R = 23 /  π

Откуда площадь основания равна
S =  πR2  
S = π (23/π) 2
S = 529 / π

Площадь сферы найдем по формуле:  
S = 4πr2

Соответственно площадь полусферы
S = 4πr2 / 2
S =  2π  (23/π)  2
S = 1058 / π

Общая площадь поверхности фигуры равна:
529 / π + 1058 / π  = 1587 / π  

Теперь вычислим расход краски (учтем, что расход дан на квадратный метр, а вычисленное значение в квадратных сантиметрах, то есть в одном метре 10 000 квадратных сантиметров)
  1587 / π  * 300 / 10 000 = 47,61 / π граммов ≈ 15,15 г 

Задача


Поверхности двух шаров относятся как m:n. Как относятся их объемы?

Поверхні двох куль відносяться як m:n. Як відносяться їх об'єми?


Решение. Рiшення.


Решение задачи про соотношение площадей сфер. Рішення задачі про співвідношення площ сфер.Для пояснения решения прокомментируем каждую из приведенных формул
  1. Воспользуемся формулой нахождения поверхности шара и запишем ее для первого шара, предположив, что его радиус равен R1
  2. Площадь поверхности второго шара запишем с помощью точно такой же формулы, предположив, что его радиус равен R2
  3. Найдем соотношение их площадей, разделив первое выражение на второе. Сократим полученную дробь. Нетрудно заметить, что соотношение площадей двух шаров равно соотношению квадратов их радиусов. По условию задачи это соотношение равно m/n
  4. Из полученного равенства найдем соотношение радиусов шаров путем извлечения квадратного корня. Полученное равенство запомним
  5. Воспользуемся формулой нахождения объема шара и запишем ее для первого шара с радиусом R1
  6. Объем второго шара запишем с помощью той же самой формулы, подставив в нее радиус R2
Для пояснення рішення прокоментуємо кожну з приведених формул
  1. Скористаємося формулою знаходження поверхні кулі і запишемо її для першої кулі, передбачивши, що його радіус рівний R1 
  2. Площу поверхні другої кулі запишемо за допомогою точний такої ж формули, передбачивши, що його радіус рівний R2
  3.  Знайдемо співвідношення їх площ, розділивши перше вираження на друге. Скоротимо отриманий дріб. Неважко відмітити, що співвідношення площ двох куль дорівнює співвідношенню квадратів їх радіусів. По умові завдання це співвідношення рівне m/n 
  4. З отриманої рівності знайдемо співвідношення радіусів куль шляхом витягання квадратного кореня. Отриману рівність запам'ятаємо 
  5. Скористаємося формулою знаходження об'єму кулі і запишемо її для першої кулі з радіусом R1
  6. Об'єм другої кулі запишемо за допомогою тієї ж самої формули, підставивши в неї радіус R2
Продолжение решения задачи про соотношение площадей и объемов сфер. Продовження рішення задачі про співвідношення площ сфер.8. Разделим объемы первого и второго шара друг на друга
9. Сократим получившуюся дробь. Заметим, что соотношение объема двух шаров равно соотношению кубов их радиусов. Учтем выражение, полученное нами ранее в формуле 4 и подставим его. Поскольку корень квадратный - это число в степени 1/2, преобразуем выражение
10. Раскроем скобки и запишем полученное соотношение в виде пропорции. Ответ получен.
8. Розділимо об'єми першої і другої кулі один на одного
9. Скоротимо дріб, що вийшов. Відмітимо, що співвідношення об'єму двох куль дорівнює співвідношенню кубів їх радіусів. Врахуємо вираження, отримане нами раніше у формулі 4 і підставимо його. Оскільки корінь квадратний - це число в мірі 1/2, перетворимо вираження
10. Розкриємо дужки і запишемо отримане співвідношення у вигляді пропорції. Відповідь отримана.

0  


 Сфера (Шар) | Описание курса | Полусфера 
   

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!




Нажмите, чтобы рекомендовать эту страницу другим:
Рейтинг@Mail.ru Яндекс.Метрика