Тетраэдр (пирамида)
139 / 178
Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о тетраэдре (пирамиде)). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√".

Задача.
Основание тетраэдра DABC треугольник со сторонами 13 см,14 см, 15 см. Расстояние от точки D до сторон треугольника основания равны 5 см. Найти расстояние от точки D до плоскости АВС.

Решение.
Расстояние от вершины до плоскости основания равно высоте, которая опущена из вершины на основание.
Величины апофемы пирамиды равны по условию задачи. Таким образом, прямоугольные треугольники, образованные высотой пирамиды, апофемой и отрезком, соединяющим высоту и точку касания апофемы и основания - равны. Откуда - высота, опущенная из вершины - является центром вписанной в основание окружности.

Найдем радиус вписанной в основание окружности. Формула радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник:
Формула вписанной окружности

p = ( 13 + 14 + 15 ) / 2 = 21
r = 4

Таким образом, расстояние от точки D до плоскости основания равно длине высоты, опущенной из вершины на основание. По теореме Пифагора:

52 = h2 + 42
h2 = 25 - 16
h2 = 9
h = 3

Ответ: 3 см.

Задача.
Найдите угол между двумя скрещивающимися медианами двух боковых граней правильного тетраэдра.

Решение.
Поскольку медианы скрещиваются, они лежат в одной плоскости. Поскольку они проведены к боковым граням правильного тетраэдра, то эта плоскость лежит на боковой грани. Поскольку тетраэдр является правильным, то каждая из его граней представляет собой правильный треугольник.
Равносторонний треугольник

Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам.
Поскольку в равностороннем треугольнике каждая медиана является одновременно и биссектриссой и высотой, то:
MAB = 30 градусов
ANK = 90 градусов
Откуда AKN = 180 - 90 -30 = 60 градусов.

Ответ: Медианы пересекаются под углом 60 градусов
0  


 С треугольником в основании | Описание курса | Пирамида с прямоугольным треугольником в основании 
   

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!




Нажмите, чтобы рекомендовать эту страницу другим:
Рейтинг@Mail.ru Яндекс.Метрика