Правильная пирамида с четырехугольником в основании
156 / 181
Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о пирамиде). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√".

Задача.
Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а боковая грань образует с основанием угол 60 градусов. найдите объем пирамиды.

Решение.
Объем пирамиды найдем по формуле:
V=1/3 Sh

Зная диагональ основания пирамиды, найдем сторону основания.
d2 = a2 + a2
42 = 2a2
16 = 2a2
a= √8 = 2√2

Соответственно, площадь основания
S = 8 см2 .

Проведем через вершину правильной четырехугольной пирамиды вертикальное сечение. Поскольку боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом 60 градусов, то сечение образует равносторонний треугольник.
Основание равностороннего треугольника равно 2√2. Откуда высота будет равна
h = √3/2 a
h = √3/2 * 2√2 = √6

Откуда объем правильной пирамиды с четырехугольником в основании равен
V=1/3 Sh
V = 1/3 * 8 * √6 = 8√6 / 3

Ответ:  8√6 / 3 см3.

Задача.
Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а. Двугранные углы при основании равны α. Найти площадь полной поверхности пирамиды.
Правильная четырехугольная пирамида

Решение.
Поскольку пирамида правильная, то ее высота проецируется в центр основания.
Значит KN = a/2
Соответственно, треугольник OKN - прямоугольный. Значит
ON = KN / cos α = a / 2cos α

Поскольку пирамида правильная, то треугольник DOC - равнобедренный. Значит его площадь равна
Sт = DC * ON / 2
Sт = ( a * a / 2cos α) / 2 = a2 / 4cos α

Откуда площадь боковой поверхности правильной пирамиды будет равна площади всех ее боковых граней
Sб = 4a2 / 4cos α
Sб = a2 / cos α

Откуда площадь полной поверхности равна
Sп = a2 / cos α + a2 = a2 ( 1 + 1 / cos α )
Ответ: площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна a2 ( 1 + 1 / cos α )
0  


 Правильная пирамида с четырехугольником в основании | Описание курса | Нахождение боковой поверхности и высоты правильной пирамиды с четырехугольником в основании 
   

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!




Нажмите, чтобы рекомендовать эту страницу другим:
Рейтинг@Mail.ru Яндекс.Метрика