Теорема косинусов. Доказательство.
90 / 178

См. также Теорема синусов.

Теорема косинусов и ее доказательство

Формулировка теоремы косинусов

Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом α, противолежащим стороне a, справедливо соотношение:

Теорема косинусов


Квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного их произведения, умноженного на косинус угла между ними

Доказательство теоремы косинусов

Теорема Косинусов

Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Предположим, что нам известна величина стороны AC (она равна некому числу b), величина стороны AB (она равна некому числу c) и угол между этими сторонами, величина которого равна α. Найдем величину стороны BC (обозначив ее длину через переменную a)

Для доказательства теоремы косинусов проведем дополнительные построения. Из вершины C на сторону AB опустим высоту CD.
Найдем длину стороны AB. Как видно из рисунка, в результате дополнительного построения можно сказать, что
AB = AD + BD

Найдем длину отрезка AD. Исходя из того, что треугольник ADC является прямоугольным, нам известны длина его гипотенузы (b) и угол (α) то величину стороны AD можно найти из соотношения его сторон, пользуясь свойствами тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике:   

AD / AC =   cos α 
откуда 
AD = AC  cos  α 
AD = b cos  α 

Длину стороны BD найдем как разность AB и AD:
BD = AB - AD
BD = c − b cos α        

Теперь запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:  
для треугольника BDC
CD2 + BD2 = BC2
для треугольника ADC
CD2 + AD= AC2

Обратим внимание на то, что оба треугольника имеют общую сторону - CD. Определим ее длину для каждого треугольника - вынесем ее значение в левую часть выражения, а остальное - в правую.
CD2 = BC2  - BD2
CD2 = AC2 -  AD2

Поскольку левые части уравнений (квадрат стороны CD) равны, то приравняем правые части уравнений:
BC2  - BD2AC2 -  AD2

Исходя из сделанных ранее вычислений, мы уже знаем что:
AD = b cos  α
BD = c − b cos α 
AC = b (по условию)

А значение стороны BC обозначим как a
BC = a 
(Именно его нам и нужно найти)

Получим:

BC2  - BD2 =  AC-  AD2  
Заменим буквенные обозначения сторон на результаты наших вычислений
a2  - (  c − b cos α  )2  =  b2 -  ( b cos α  )2
перенесем неизвестное значение (а) на левую сторону, а остальные части уравнения - на правую
a2  = (  c − b cos α  )2  +  b2 -  ( b cos α  )2
раскроем скобки
a2  =   b2 + c 2  - 2c b cos α +  ( b cos α  )2   -  ( b cos α  )2
получаем
a2  =   b2 + c 2  - 2bc cos α
      
Теорема косинусов доказана.

Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.  

0  


 Основное свойство функции косинуса | Описание курса | Теорема косинусов. Пример решения задачи 
   

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!




Нажмите, чтобы рекомендовать эту страницу другим:
Рейтинг@Mail.ru Яндекс.Метрика